Dubbio su un passaggio matematico in equazioni differenziali
E rieccomi qui ad attingere al vostro sapere... O a fare altre figuraccie dipende dai punti di vista...
Sto studiando ste maledette equazioni differenziali per una prova di matematica, ma ogni tanto, quando mi sembra di aver capito, ecco che il testo fa passaggi che io non capisco.
Il problema di stavolta è il seguente (vi espongo la soluzione che da il testo per l'equazione differenziale a variabili separabili $y'=(x(1+y^2))/(y(1-x^2))$ ; $y_(0)=1$:
La condizione iniziale e il fatto che dobbiamo lavorare in un intervallo ci impongono di di supporre $|x|<=1$
Separando le variabili e integrando rispetto ad x, ponendo $y'dx=dy$ otteniamo
$int y/(1+y^2) dy = int x/(1-x^2) dx$
integrando, con costante arbitraria c si ha
$1/2 log (1+y^2) = 1/2 log (1-x^2)+c$
e cioè, con $k=2c$
$(1+y^2)/(1-x^2)=k$
utilizzando la condizione iniziale si ottiene k=2 e quindi $y^2=1-2x^2$, da cui, sotto la condizione $x^2<=1/2$ e cioè $|x|<=1/sqrt2$ si ottiene
$y=sqrt(1-2x^2) , |x|<=1/sqrt2$
(Fine del testo)
Per come la ricordo io, la differenza di due logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto ($ log A - log B = log (A/B)$), non al rapporto e basta. E con ciò mi verrebbe $k=log 2$ che ovviamente è cosa ben diversa.
Poi, ammettendo per assurdo che si possa arrivare ad uno stesso risultato anche con $k=log2$ andando a sostituire k (ricordandosi che è uguale a 2c) nell'equazione
$log(1+y^2) = log(1-x^2)+2c$
a conti fatti mi viene
$y^2=2-x^2$
quindi
$y=+- sqrt(2+x^2)$ con $|x|<=sqrt2$ che è maggiore di 1 (condizione iniziale)
Quindi ora vorrei capire cosa ho sbagliato, o cosa non ricordo per ottenere il risultato che da il testo...
Grazie a tutti.
Sto studiando ste maledette equazioni differenziali per una prova di matematica, ma ogni tanto, quando mi sembra di aver capito, ecco che il testo fa passaggi che io non capisco.
Il problema di stavolta è il seguente (vi espongo la soluzione che da il testo per l'equazione differenziale a variabili separabili $y'=(x(1+y^2))/(y(1-x^2))$ ; $y_(0)=1$:
La condizione iniziale e il fatto che dobbiamo lavorare in un intervallo ci impongono di di supporre $|x|<=1$
Separando le variabili e integrando rispetto ad x, ponendo $y'dx=dy$ otteniamo
$int y/(1+y^2) dy = int x/(1-x^2) dx$
integrando, con costante arbitraria c si ha
$1/2 log (1+y^2) = 1/2 log (1-x^2)+c$
e cioè, con $k=2c$
$(1+y^2)/(1-x^2)=k$
utilizzando la condizione iniziale si ottiene k=2 e quindi $y^2=1-2x^2$, da cui, sotto la condizione $x^2<=1/2$ e cioè $|x|<=1/sqrt2$ si ottiene
$y=sqrt(1-2x^2) , |x|<=1/sqrt2$
(Fine del testo)
Per come la ricordo io, la differenza di due logaritmi è uguale al logaritmo del rapporto ($ log A - log B = log (A/B)$), non al rapporto e basta. E con ciò mi verrebbe $k=log 2$ che ovviamente è cosa ben diversa.
Poi, ammettendo per assurdo che si possa arrivare ad uno stesso risultato anche con $k=log2$ andando a sostituire k (ricordandosi che è uguale a 2c) nell'equazione
$log(1+y^2) = log(1-x^2)+2c$
a conti fatti mi viene
$y^2=2-x^2$
quindi
$y=+- sqrt(2+x^2)$ con $|x|<=sqrt2$ che è maggiore di 1 (condizione iniziale)
Quindi ora vorrei capire cosa ho sbagliato, o cosa non ricordo per ottenere il risultato che da il testo...
Grazie a tutti.
Risposte
"Wolf_Teenay":
Poi, ammettendo per assurdo che si possa arrivare ad uno stesso risultato anche con $k=log2$ andando a sostituire k (ricordandosi che è uguale a 2c) nell'equazione
$log(1+y^2) = log(1-x^2)+2c$
a conti fatti mi viene
$y^2=2-x^2$
mi pare tornino tutti i ragionamenti ma non il "a conti fatti"... do it again!
tieni conto che è consuetudine rinominare le costanti usando la stessa lettera... magari questo ti crea confusione
può essere che il testo fa la sostituzione $k'=e^k$.. ma poi continua a chiamare $k'=k$... è sempre una costante... è funzione di altre costanti, ma a te interessa il numero alla fine, non nei passaggi intermedi e quindi ti puoi dimenticare la sua dipendenza funzionale da altre cose...
oppure puoi vederla così: ho scritto il tutto in funzione di $k'$' bene chiamo $k'$ con $k$ tanto compare solo $k'$ e non più il vecchio $k$ la dentro ed inoltre non uso lettere strane nuove...
Due centesimi:
- credo abbia ragione Thomas. Magari è solo una svista, un misprint, ma anche secondo me c'è un "cambiamento di costanti"
, del tipo da lui indicato
- puoi provare anche a risolverla incorporando direttamente la condizione iniziale, ovvero usando solo integrali definiti, e quindi senza costanti fra i piedi (vedi pag. 4 qui: http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf)
- credo abbia ragione Thomas. Magari è solo una svista, un misprint, ma anche secondo me c'è un "cambiamento di costanti"
, del tipo da lui indicato- puoi provare anche a risolverla incorporando direttamente la condizione iniziale, ovvero usando solo integrali definiti, e quindi senza costanti fra i piedi (vedi pag. 4 qui: http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf)
Signori, grazie di cuore!
Ho cominciato con il consiglio di Thomas del "do it again" e mi sono accorto di un clamoroso errore "di sbaglio", non nuovo nella mia giovane carriera di matematico. Ancora sono un po' arrugginito con le proprietà dei logaritmi
Spero stavolta di risolvere l'esercizio.
Grazie e a presto (spererei fosse l'ultima volta, ma non ci conto...)
Ho cominciato con il consiglio di Thomas del "do it again" e mi sono accorto di un clamoroso errore "di sbaglio", non nuovo nella mia giovane carriera di matematico. Ancora sono un po' arrugginito con le proprietà dei logaritmi
Spero stavolta di risolvere l'esercizio.
Grazie e a presto (spererei fosse l'ultima volta, ma non ci conto...)
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