Dubbio su un limite: uso Taylor o no?
eccolo:
$ lim_(x -> 0) (e^(1/x^3)-1-1/x^3)/(1-cos (1/x^3) $
Apparentemente sembra non si possa usare o sbaglio? Cioè il limite tende a zero ma compare sempre 1/x che mi fa tendere la funzione a infinito... . In alternativa come si risolve? Non mi sembra sia riconducibile a un notevole e neppure usando l'hopital più volte... . Come fare??
$ lim_(x -> 0) (e^(1/x^3)-1-1/x^3)/(1-cos (1/x^3) $
Apparentemente sembra non si possa usare o sbaglio? Cioè il limite tende a zero ma compare sempre 1/x che mi fa tendere la funzione a infinito... . In alternativa come si risolve? Non mi sembra sia riconducibile a un notevole e neppure usando l'hopital più volte... . Come fare??
Risposte
Non puoi usare gli sviluppi per x tendente a 0 ma puoi ricondurti ad un limite ad infinito sostituendo $y=1/x$
e quindi come posso risolverlo??
Con la sostituzione $y = 1/x^3$ puoi usare gli sviluppi di Taylor per $y \to 0$.
Seneca, guarda che $x\to 0$.
Ops... Grazie Ciampax.
\[ e^y - 1 - y \le \frac{e^y - 1 - y}{ 1 - \cos(y)} \]
Sia per $y \to + \infty$ che per $y \to - \infty$ il limite risulta $+ \infty$.
\[ e^y - 1 - y \le \frac{e^y - 1 - y}{ 1 - \cos(y)} \]
Sia per $y \to + \infty$ che per $y \to - \infty$ il limite risulta $+ \infty$.
scusa non ho capito quest'ultimo passaggio xD
Avendo che $e^y - 1 - y \to + \infty$ sia per $y \to + \infty$ che per $y \to - \infty$, osservato che vale la minorazione di cui sopra, in virtù di un noto teorema di confronto il limite da te proposto è $+ \infty$.
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