Dubbio su un limite (funzioni a due variabili)
Salve a tutti,
qualche giorno fa in aula è stato proposto questo esercizio:
"Determinare per quali valori naturali di n esiste il
$\lim_{(x,y) \to (0,0)}(xlog(1+x^n))/(y(x^2+y^2))$ ."
Io avevo pensato, per prima cosa, di calcolarne il valore prima lungo l'asse x poi lungo l'asse y, in modo che se facendolo tendere da queste due direzioni viene diverso, già si può dire che il limite non esiste; il professore però ha detto che non si può farlo tendere dalla direzione dell'asse x. Ma perché? Non va bene dire che per $(x,y) -> (x,0)$ il limite è $\infty$ ?
Poi, dopo un po', il professore ha detto che il limite non esiste, e che voleva che trovassimo un modo per dimostrarlo; ho provato a farlo tendere da tutte le direzioni facendo $\lim_{(x,y) \to (x,mx)} f(x,y) $e ho visto che poi, facendo il limite per $x->0 $ viene infinito! Perché non dovrebbe esistere?
Grazie in anticipo!
Valentina
qualche giorno fa in aula è stato proposto questo esercizio:
"Determinare per quali valori naturali di n esiste il
$\lim_{(x,y) \to (0,0)}(xlog(1+x^n))/(y(x^2+y^2))$ ."
Io avevo pensato, per prima cosa, di calcolarne il valore prima lungo l'asse x poi lungo l'asse y, in modo che se facendolo tendere da queste due direzioni viene diverso, già si può dire che il limite non esiste; il professore però ha detto che non si può farlo tendere dalla direzione dell'asse x. Ma perché? Non va bene dire che per $(x,y) -> (x,0)$ il limite è $\infty$ ?
Poi, dopo un po', il professore ha detto che il limite non esiste, e che voleva che trovassimo un modo per dimostrarlo; ho provato a farlo tendere da tutte le direzioni facendo $\lim_{(x,y) \to (x,mx)} f(x,y) $e ho visto che poi, facendo il limite per $x->0 $ viene infinito! Perché non dovrebbe esistere?
Grazie in anticipo!
Valentina
Risposte
Allora direi che $(x,y)->(x,0)$ non si può fare perchè se fai il dominio della funzione viene $y!=0$, ma in generale dire che non si può fare neanche $(x,y)->(0,0)$. Per quanto riguarda il limite, io a prima vista avrei fatto un passaggio del tipo:
$xlog(1+x^n)/(y(x^2+y^2))$ tramite limite notevole del logaritmo $(x*x^n)/(y(x^2+y^2))=x^(n+1)/(y(x^2+y^2))$
e da qui avrei lavorato un pò con il limite.
Non ho ancora capito come al tuo prof venga che non esiste....
$xlog(1+x^n)/(y(x^2+y^2))$ tramite limite notevole del logaritmo $(x*x^n)/(y(x^2+y^2))=x^(n+1)/(y(x^2+y^2))$
e da qui avrei lavorato un pò con il limite.
Non ho ancora capito come al tuo prof venga che non esiste....
Effettivamente ci sono dei valori di $n$ per cui il limite non esiste e altri per cui vale zero (suppongo che tu stia considerando $n\in NN$). Credo che i casi in cui a te vengano infinito, sono da trattare con delicatezza perché, a seconda della direzione a cui ti avvicini all'origine, il segno della funzione cambia (il motivo della non esistenza).
Innanzitutto, grazie a entrambi per aver risposto;
ma se il dominio è $y!=0$ , perché il limite non si può fare lungo quella direzione? Cioè, ad esempio in una funzione a una variabile, se in un punto una funzione non è definita, quindi non esiste quel $f(x_0)$ , non vuol dire che non esiste $\lim_{x \to \x_0}f(x)$! Per le funzioni a due variabili non si può fare un ragionamento analogo?
Nel foglio che ho non c'è scritto, ma io credo che sia come dici tu $n in NN$ oppure $n in RR$. Ma allora il limite non esiste perché è diverso in base al valore che dò a n? Non c'entra il fatto che se scelgo un valore n, con quel valore il limite ha sempre lo stesso valore da tutte le direzioni? Cioè, se io scelgo ad esempio n=0, il limite non viene sempre $-infty$ ?
"Lorin":
Allora direi che $(x,y)->(x,0)$ non si può fare perchè se fai il dominio della funzione viene $y!=0$
ma se il dominio è $y!=0$ , perché il limite non si può fare lungo quella direzione? Cioè, ad esempio in una funzione a una variabile, se in un punto una funzione non è definita, quindi non esiste quel $f(x_0)$ , non vuol dire che non esiste $\lim_{x \to \x_0}f(x)$! Per le funzioni a due variabili non si può fare un ragionamento analogo?
"ciampax":
Effettivamente ci sono dei valori di $n$ per cui il limite non esiste e altri per cui vale zero (suppongo che tu stia considerando $n\in NN$). Credo che i casi in cui a te vengano infinito, sono da trattare con delicatezza perché, a seconda della direzione a cui ti avvicini all'origine, il segno della funzione cambia (il motivo della non esistenza).
Nel foglio che ho non c'è scritto, ma io credo che sia come dici tu $n in NN$ oppure $n in RR$. Ma allora il limite non esiste perché è diverso in base al valore che dò a n? Non c'entra il fatto che se scelgo un valore n, con quel valore il limite ha sempre lo stesso valore da tutte le direzioni? Cioè, se io scelgo ad esempio n=0, il limite non viene sempre $-infty$ ?
Eh no. Come vedi da quello che ha scritto Lorin, il limite si può ricondurre al seguente:
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} {x^{n+1}}/{y(x^2+y^2)}$
Se ora passi a coordinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$, si ha
$\lim_{\rho\to 0} {\rho^{n+1} \cos^{n+1}\theta}/{\rho^3\sin\theta}={\cos^{n+1}\theta}/{\sin theta}\cdot\lim_{\rho\to 0}\ \rho^{n-2}$
Come vedi il limite dipende dalla scelta di $n$ in quanto
$\lim_{\rho\to 0}\ \rho^{n-2}=\{((0, n>2),(1, n=2),(+\infty, n<2))$
Solo per $n>2$ il limite iniziale vale zero: tuttavia va escluso il caso in cui sia $\sin\theta=0$ e quindi le direzioni relative all'asse $x$. Effettivamente, a guardare bene, il limite non esiste neanche in questo caso (ci sono due direzioni che non ti permettono di definirlo correttamente)
D'altra parte, per $n=2$ è ovvia la dipendenza del limite da $\theta$, mentre per $n<2$, nonostante il valore del limite sia infinito, non puoi deciderne il segno (di nuovo a causa della dipendenza da $\theta$). Concludi dunque che il limite non esiste.
$\lim_{(x,y)\to(0,0)} {x^{n+1}}/{y(x^2+y^2)}$
Se ora passi a coordinate polari $x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta$, si ha
$\lim_{\rho\to 0} {\rho^{n+1} \cos^{n+1}\theta}/{\rho^3\sin\theta}={\cos^{n+1}\theta}/{\sin theta}\cdot\lim_{\rho\to 0}\ \rho^{n-2}$
Come vedi il limite dipende dalla scelta di $n$ in quanto
$\lim_{\rho\to 0}\ \rho^{n-2}=\{((0, n>2),(1, n=2),(+\infty, n<2))$
Solo per $n>2$ il limite iniziale vale zero: tuttavia va escluso il caso in cui sia $\sin\theta=0$ e quindi le direzioni relative all'asse $x$. Effettivamente, a guardare bene, il limite non esiste neanche in questo caso (ci sono due direzioni che non ti permettono di definirlo correttamente)
D'altra parte, per $n=2$ è ovvia la dipendenza del limite da $\theta$, mentre per $n<2$, nonostante il valore del limite sia infinito, non puoi deciderne il segno (di nuovo a causa della dipendenza da $\theta$). Concludi dunque che il limite non esiste.
Ho capito adesso! Non avevo pensato a passare alle coordinate polari. Così si vede meglio. Grazie mille!
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