Dubbio su un limite forse notevole...
Salve a tutti,
sto seguendo degli esercizi svolti su delle serie e ad un certo punto mi son trovato davanti:
Il mio problema è che c'è un passaggio che si riferisce ai limiti che non riesco a capire ovvero quando dice che:
sin n per n che tende a infinito corrisponde a: 1/n - 1/6n^3
Qualcuno mi chiarisce l'equivoco?
Altra cosa che non mi è chiara è che lui verifica che la serie 1/6n^2 converge per affermare che anche la serie inziale converge, invece il criterio di leibniz chiede che a(n+1) < a(n) e che lim(a(n)) =0.. usa forse qualche altro criterio?
sto seguendo degli esercizi svolti su delle serie e ad un certo punto mi son trovato davanti:
Il mio problema è che c'è un passaggio che si riferisce ai limiti che non riesco a capire ovvero quando dice che:
sin n per n che tende a infinito corrisponde a: 1/n - 1/6n^3
Qualcuno mi chiarisce l'equivoco?
Altra cosa che non mi è chiara è che lui verifica che la serie 1/6n^2 converge per affermare che anche la serie inziale converge, invece il criterio di leibniz chiede che a(n+1) < a(n) e che lim(a(n)) =0.. usa forse qualche altro criterio?
Risposte
Per quel che riguarda la prima domanda
"sin n per n che tende a infinito corrisponde a: 1/n - 1/6n^3"
in realtà quello che dice il frammento che hai riportato è che $sen(1/n)$ per $n->+oo$ corrisponde a $1/n-1/(6n^2)$. Ciò deriva dallo sviluppo di McLaurin della funzione $senx$ che vale in un intorno di zero. In altre parole, per $x->0$ si ha
$senx = x - x^3/6 + x^5/(5!) - x^7/(7!) + ...$
Ora per $n->+oo$ risulta $1/n->0$ quindi si può utilizzare lo sviluppo precedente sostituendo a $x$ il termine $1/n$ da cui
$sen(1/n) = 1/n - 1/6(1/n)^3 + 1/(5!)(1/n)^5 - 1/(7!)(1/n)^7 + ...$
Da ciò si ricava
$1-n sen(1/n) = 1 - n[1/n - 1/6(1/n)^3 + 1/(5!)(1/n)^5 - 1/(7!)(1/n)^7 + ...] = 1 - 1 + 1/(6n^2) + 1/(5!n^4) - 1/(7!n^6) + ... = 1/(6n^2) + 1/(5!n^4) - 1/(7!n^6) + ... ~ 1/(6n^2)$
Ritornando alla serie di partenza quello che si cerca di fare è di verificare se essa converge assolutamente, ovvero se converge la serie dei valori assoluti
$\sum_(n=1)^(oo)|1-nsen(1/n)|$
da quanto visto precedentemente si conclude che è (per $n->+oo$)
$|1-nsen(1/n)| ~ |1/(6n^2)|=1/(6n^2)$
quindi la serie dei valori assoluti converge per il CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO, in quanto asintotica alla serie
$sum_(n=1)^(oo)1/(6n^2)$
che, dalla teoria, si sa essere convergente.
Allora se la serie dei valori assoluti converge, la serie senza valori assoluti è assolutamente convergente e quindi anche semplicemente convergente.
Come vedi il criterio di Leibniz in questo caso non viene utilizzato.
"sin n per n che tende a infinito corrisponde a: 1/n - 1/6n^3"
in realtà quello che dice il frammento che hai riportato è che $sen(1/n)$ per $n->+oo$ corrisponde a $1/n-1/(6n^2)$. Ciò deriva dallo sviluppo di McLaurin della funzione $senx$ che vale in un intorno di zero. In altre parole, per $x->0$ si ha
$senx = x - x^3/6 + x^5/(5!) - x^7/(7!) + ...$
Ora per $n->+oo$ risulta $1/n->0$ quindi si può utilizzare lo sviluppo precedente sostituendo a $x$ il termine $1/n$ da cui
$sen(1/n) = 1/n - 1/6(1/n)^3 + 1/(5!)(1/n)^5 - 1/(7!)(1/n)^7 + ...$
Da ciò si ricava
$1-n sen(1/n) = 1 - n[1/n - 1/6(1/n)^3 + 1/(5!)(1/n)^5 - 1/(7!)(1/n)^7 + ...] = 1 - 1 + 1/(6n^2) + 1/(5!n^4) - 1/(7!n^6) + ... = 1/(6n^2) + 1/(5!n^4) - 1/(7!n^6) + ... ~ 1/(6n^2)$
Ritornando alla serie di partenza quello che si cerca di fare è di verificare se essa converge assolutamente, ovvero se converge la serie dei valori assoluti
$\sum_(n=1)^(oo)|1-nsen(1/n)|$
da quanto visto precedentemente si conclude che è (per $n->+oo$)
$|1-nsen(1/n)| ~ |1/(6n^2)|=1/(6n^2)$
quindi la serie dei valori assoluti converge per il CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO, in quanto asintotica alla serie
$sum_(n=1)^(oo)1/(6n^2)$
che, dalla teoria, si sa essere convergente.
Allora se la serie dei valori assoluti converge, la serie senza valori assoluti è assolutamente convergente e quindi anche semplicemente convergente.
Come vedi il criterio di Leibniz in questo caso non viene utilizzato.
"Cozza Taddeo":
$1-n sen(1/n) = 1 - n[1/n - 1/6(1/n)^3 + 1/(5!)(1/n)^5 - 1/(7!)(1/n)^7 + ...] = 1 - 1 + 1/(6n^2) + 1/(5!n^4) - 1/(7!n^6) + ... = 1/(6n^2) + 1/(5!n^4) - 1/(7!n^6) + ... ~ 1/(6n^2)$
Mi permetto di correggere un piccolo errore di segno dal tuo bel post:
$1-n sen(1/n) = 1 - n[1/n - 1/6(1/n)^3 + 1/(5!)(1/n)^5 - 1/(7!)(1/n)^7 + ...] = 1 - 1 + 1/(6n^2) - 1/(5!n^4) + 1/(7!n^6) + ... = 1/(6n^2) - 1/(5!n^4) + 1/(7!n^6) - ... ~ 1/(6n^2)$.
Grazie Gugo82 per la correzione (e l'apprezzamento). 
Ho scritto tutto un po' di fretta e ho prestato poca attenzione ai termini di ordine superiore in quanto ininfluenti per lo svolgimento dell'esercizio. È sempre bene però che tutti i dettagli siano corretti per non ingegnerare confusione.
Grazie ancora e buona matematica!
Ho scritto tutto un po' di fretta e ho prestato poca attenzione ai termini di ordine superiore in quanto ininfluenti per lo svolgimento dell'esercizio. È sempre bene però che tutti i dettagli siano corretti per non ingegnerare confusione.
Grazie ancora e buona matematica!
Troppa fretta ti ha fatto" ingenerare" in un errore 
"Camillo":
Troppa fretta ti ha fatto" ingenerare" in un errore
No, no, la fretta mi ha fatto proprio "ingegnerare"...noi ingenieri non manchiamo mai di rimarcare la nostra origine...
Grazie mille per le lucidazioni! Tutto chiaro adesso!
Ciao
Tutto chiaro adesso!Ciao
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