Dubbio su un limite

[Brancaleone1]

Ciao a tutti
Ho un limite in due variabili che non riesco a calcolare - o meglio, non riesco a capire dove sto sbagliando...

\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(e^{\sqrt{x^2+y^2}}-1)xy}{(|x|+|y|)^2}
\]

Calcolando in coordinate polari:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{(e^{\sqrt{x^2+y^2}}-1)xy}{(|x|+|y|)^2} = \lim_{\rho \to 0^+} \frac{(e^{\rho}-1)\rho^2 \cos \theta \sin \theta}{(|\rho \cos \theta|+|\rho \sin \theta|)^2} \le \lim_{\rho \to 0^+} \frac{(e^{\rho}-1)\rho^2}{\rho^2 \cos^2 \theta+\rho^2 \sin^2 \theta+2 \rho^2 |\cos \theta \sin \theta|}=$

$=\lim_{\rho \to 0^+} \frac{(e^{\rho}-1)\rho^2}{\rho^2 (1+2 |\cos \theta \sin \theta|)}=\lim_{\rho \to 0^+} \frac{(e^{\rho}-1)}{1+2 |\cos \theta \sin \theta|}=0$

Dato che solitamente non mi fido molto dei miei calcoli, ho provato a vedere cosa dice WA, ma...

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim%28%28x%2Cy%29-%3E%280%2C0%29%29%28e^%E2%88%9A%28x^2+%2B+y^2%29+-+1%29*x*y%2F%28ABS%28x%29+%2B+ABS%28y%29%29^2

...secondo lui non esiste, e siccome non trovo l'errore nel procedimento sopra, allora ho provato con le restrizioni, ma per quante diverse curve abbia provato ($mx^n, \sinx, \tanx, arctanx, arcsinx, e^x-1, \ln(x+1)...$) il risultato è sempre lo stesso ($=0$). In questo modo non posso dire che il limite non esiste, ma non sono neanche sicuro che esista (WA lo uso con le pinze, non lo prendo per oro colato...)

[Sk_Anonymous]

Hai dimenticato $[costhetasintheta]$ al numeratore. In ogni modo:

$|((e^rho-1)costhetasintheta)/(1+2|costhetasintheta|)|=|((e^rho-1)sin(2theta))/(2(1+|sin(2theta)|))|<=(e^rho-1)/2$

Il limite esiste e vale zero. In pratica, se riesci a maggiorare mediante una funzione dipendente solo da $[rho]$ che tenda a zero quando $[rho]$ tende a zero, sei a cavallo.

[Brancaleone1]

Grazie speculor
$[\cos \theta \sin \theta]$ li ho maggiorati

[Sk_Anonymous]

Non me ne ero accorto. In ogni modo, quando decidi di maggiorare, non è necessario portarsi dietro il limite.

[Brancaleone1]

Ok, capito. Grazie ancora