Dubbio su un limite

[dotmanu]

$lim_{x->+oo}(log|e^(2x)-e^x|)/x=2$

Mi è chiaro il risultato ed il procedimento con il quale si arriva a determinarlo.
Tuttavia ho una domanda, guardando la funzione, di primo acchito mi veniva da dire che $log$ è di ordine inferiore a $x$ e dunque il limite $->0$.

Perchè è sbagliato questo ragionamento?

Grazie

[Paolo902]

"dotmanu":$lim_{x->+oo}(log|e^(2x)-e^x|)/x=2$

Mi è chiaro il risultato ed il procedimento con il quale si arriva a determinarlo.
Tuttavia ho una domanda, guardando la funzione, di primo acchito mi veniva da dire che $log$ è di ordine inferiore a $x$ e dunque il limite $->0$.

Perchè è sbagliato questo ragionamento?

Grazie

In sostanza, è vero che il $log$ ha ordine di infinito minore di ogni potenza di $x$. Tuttavia, qui dentro l'argomento del logaritmo c'è un esponenziale, quindi potrebbero esserci "compensazioni" a livello di ordine.

Operativamente, consiglio di togliere il modulo ($e^(2x)>e^x$, in un intorno di infinito) e raccogliere $e^(2x)$ nell'argomento del logaritmo. A quel punto dovresti cavartela con una proprietà dei logaritmi.

[indovina]

Io ho fatto lo stesso ragionamento di paolo.
Infatti ho applicato più volte le regole dei logaritmi.
Solo una cosa vi chiedo per conferma.

$(log(1-1/e^x))/x$ $sim0$ per $x->oo$ ?

[dotmanu]

Sì, esatto!

[Paolo902]

"clever":Io ho fatto lo stesso ragionamento di paolo.
Infatti ho applicato più volte le regole dei logaritmi.
Solo una cosa vi chiedo per conferma.

$(log(1-1/e^x))/x$ $sim0$ per $x->oo$ ?

Faccio notare che $0/oo$ non è una forma indeterminata. Fa $0$.

[Seneca1]

"clever":
$(log(1-1/e^x))/x$ $sim0$ per $x->oo$ ?

Sì, è corretta.