Dubbio su un integrale doppio
Ho un dubbio (probabilmente fesso 
) sul seguente esercizio
Passando a polari $(x,y)=\phi(\rho,\theta)=(\rho\cos \theta,\rho \sin\theta)$, io imporrei che
\[
\phi^{-1}(C)=\Big\{ \rho\le 2\cos\theta+2\sin\theta, \theta\in \Big[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\Big]\Big\}
\]
Il dubbio che ho: è corretto scrivere $\theta\in [-\frac{pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$? O dovrei scrivere$
\theta\in [0,\frac{3\pi}{4} ] \cup \theta\in [\frac{11\pi}{4},2\pi ]$?
Sembra che mi diano due risulta diversi ...
) sul seguente esercizioSia $C$ il cerchio di centro $(1,1)$ e raggio $\sqrt{2}$. Calcolare
\[
\iint_{C} \frac{dxdy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\]
Passando a polari $(x,y)=\phi(\rho,\theta)=(\rho\cos \theta,\rho \sin\theta)$, io imporrei che
\[
\phi^{-1}(C)=\Big\{ \rho\le 2\cos\theta+2\sin\theta, \theta\in \Big[-\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\Big]\Big\}
\]
Il dubbio che ho: è corretto scrivere $\theta\in [-\frac{pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$? O dovrei scrivere$
\theta\in [0,\frac{3\pi}{4} ] \cup \theta\in [\frac{11\pi}{4},2\pi ]$?
Sembra che mi diano due risulta diversi ...
Risposte
Non è meglio mettere il centro delle coordinate polari in (1,1)? Così non devi stare a impazzire con gli estremi di integrazione.
Ciao @dissonance. Così facendo non complicherei l'integrale? Comunque provo, tentar non nuoce
Beh, ovviamente si. Da qualche parte deve andare la difficoltà.
Sinceramente, l'integrale si complica troppo
\[
\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{\rho d\rho}{\sqrt{2+\rho^{2}+2\rho(\cos\theta+\sin\theta)}}
\]
rispetto all'utilizzare le usuali coordinate polari
\[
\int_{?}^{??} d\theta \int_{0}^{2\cos \theta+2\sin \theta} d\rho
\]
In ogni caso, è un dubbio che mi interesserebbe risolvere!
\[
\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{\rho d\rho}{\sqrt{2+\rho^{2}+2\rho(\cos\theta+\sin\theta)}}
\]
rispetto all'utilizzare le usuali coordinate polari
\[
\int_{?}^{??} d\theta \int_{0}^{2\cos \theta+2\sin \theta} d\rho
\]
In ogni caso, è un dubbio che mi interesserebbe risolvere!
"Cantor99":
Il dubbio che ho: è corretto scrivere $\theta\in [-\frac{pi}{4},\frac{3\pi}{4}]$? O dovrei scrivere$
\theta\in [0,\frac{3\pi}{4} ] \cup \theta\in [\frac{11\pi}{4},2\pi ]$?
Sembra che mi diano due risulta diversi ...
È indifferente. Come fanno a venirti due risultati diversi? La funzione che ti trovi è una costante e gli estremi dell'integrazione in $\rho$ sono funzioni periodiche in $\theta$ di periodo $2pi$, quindi gli integrali su due intervalli che ottieni uno dall'altro ($[-pi/4,0]$ e $[11/4pi,2pi]$) con una traslazione di $2pi$ sono uguali.
Ti ringrazio otta96, in effetti i risultati coincidono MA avevo il dubbio che, essendo il cambio di coordinate definito in $(\theta,\rho)\in[0,2\pi]\times[0,+\infty)$, ci potesse essere qualche problema. Forse non c'è perchè posso considerare anche definire il cambiamento in $[-\pi,\pi]\times[0,+\infty)$?
Eh si. Come primo fattore puoi prendere un qualsiasi intervallo di ampiezza $2pi$.
Gentilissima, grazie!
"Cantor99":
Sinceramente, l'integrale si complica troppo
\[
\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} \frac{\rho d\rho}{\sqrt{2+\rho^{2}+2\rho(\cos\theta+\sin\theta)}}
\]
rispetto all'utilizzare le usuali coordinate polari
\[
\int_{?}^{??} d\theta \int_{0}^{2\cos \theta+2\sin \theta} d\rho
\]
In ogni caso, è un dubbio che mi interesserebbe risolvere!
Hai ragione, è più semplice come hai fatto tu.
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