Dubbio su un integrale

[nello_1981]

Ciao a tutti, volevo avere conferma di un calcolo di integrale.
L’esercizio dice:

Siano $ alpha, beta > 0 $ e $ falpha(x) = min { 1 , 1/(|x|)^alpha }, fbeta(x) = min { 1 , 1/(|x-1|)^beta } $. Per quali $ alpha, beta $ l’integrale $ int_(R)^() (falpha - fbeta) dx $ è finito?

Per prima cosa ho pensato di dividere l’integrale, considerandone due separatamente: $ int_(R)^() (falpha - fbeta) dx = int_(R)^() falpha dx – int_(R)^() fbeta dx $.
Poi ho visto come si comportano graficamente le due funzioni:



Dovrebbero essere entrambe limitate dalla funzione caratteristica 1



Quindi il primo integrale dovrò calcolarlo per x>1 e x<-1 ed il secondo per x>2 e x<0.
Il calcolo del primo integrale sarà:

$ int_(R)^() falpha(x) dx = {( int_(1)^(+infty) dx/x^alpha = lim_{t to +infty} (t^(1-alpha)-1)/(1-alpha) < infty if alpha >1 ), (int_(-infty)^(-1) dx/(-x)^alpha = lim_{t to -infty} (1-t^(1-alpha))/(1-alpha) < infty if alpha >1 ) :} rArr alpha>1 $

Similmente il secondo:

$ int_(R)^() fbeta(x) dx = {( int_(2)^(+infty) dx/(x-1)^beta = lim_{t to +infty} ((t-1)^(1-beta) - 1)/(1-beta) < infty if beta >1 ), (int_(-infty)^(0) dx/(1-x)^beta = lim_{t to -infty} ((1-t)^(1-beta) - 1)/(1-beta) < infty if beta >1 ) :} if beta>1 $

Penso di averlo fatto bene il calcolo degli integrali…ho invece qualche dubbio sui disegni iniziali e quindi sugli intervalli di derivazione, poichè non mi è mai capitato di trovare una funzione come minimo di un insieme.

[nello_1981]

Hello c'è nessuno?