Dubbio su un criterio per le Serie
Ha spiegato il prof che date due serie, una con termine generale [tex]a_n[/tex] e l'altra [tex]b_n[/tex], esistono due costanti a e b positive e tali che a
[tex]a_n=\frac{1}{n}[/tex] e [tex]b_n=\frac{1}{n^2}[/tex]
oppure solo per quelle che hanno lo stesso carattere.
[tex]a_n=\frac{1}{n}[/tex] e [tex]b_n=\frac{1}{n^2}[/tex]
oppure solo per quelle che hanno lo stesso carattere.
Risposte
Risponditi da solo: $(a_n)/(b_n)=n$, ti sembra una successione limitata dall'alto? Poi credo che non sia vero neanche per serie che hanno lo stesso carattere, ad esempio $sum 1/(n^2), sum 1/(2^n)$ sono serie convergenti ma il rapporto dei termini generali è $(2^n)/(n^2)$ che non è limitato.
Hai scritto tutto in maniera un po' troppo vaga.
Immagino che entrambe le serie siano a termini positivi. Se supponiamo che abbiano lo stesso ordine di infinitesimo, allora quanto asserito è sicuramente vero. Infatti, due serie [tex]a_n[/tex] e [tex]b_n[/tex] con [tex]b_n[/tex] definitivamente diversa da 0 sono dello stesso ordine di infinitesimo (infinito) se e solo se [tex]\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n} = l \in \mathbb{R}[/tex] con [tex]l \ne 0[/tex].
Il viceversa non è necessariamente vero. Ad esempio [tex]a_n = \sin(n)+3n[/tex] e [tex]b_n = n[/tex]. Allora [tex]\frac{\sin(n)}{n}+3[/tex] rimane limitato da due costanti positive, ma le due serie non hanno lo stesso carattere.
Immagino che entrambe le serie siano a termini positivi. Se supponiamo che abbiano lo stesso ordine di infinitesimo, allora quanto asserito è sicuramente vero. Infatti, due serie [tex]a_n[/tex] e [tex]b_n[/tex] con [tex]b_n[/tex] definitivamente diversa da 0 sono dello stesso ordine di infinitesimo (infinito) se e solo se [tex]\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n} = l \in \mathbb{R}[/tex] con [tex]l \ne 0[/tex].
Il viceversa non è necessariamente vero. Ad esempio [tex]a_n = \sin(n)+3n[/tex] e [tex]b_n = n[/tex]. Allora [tex]\frac{\sin(n)}{n}+3[/tex] rimane limitato da due costanti positive, ma le due serie non hanno lo stesso carattere.
tutto chiaro....credo. Ma mi è venuto un altro dubbio.....come si fa a scoprire il carattere di una serie che ha ad esempio come termine generale 3n ?
Ma... non le state facendo queste cose? Come determinare il carattere di una serie?
Lo studio delle serie consiste proprio in questo!
Comunque [tex]a_n = 3n[/tex] non converge perché il termine generale tende a [tex]+\infty[/tex] e quindi rimane contraddetta la condizione necessaria di convergenza.
Lo studio delle serie consiste proprio in questo!
Comunque [tex]a_n = 3n[/tex] non converge perché il termine generale tende a [tex]+\infty[/tex] e quindi rimane contraddetta la condizione necessaria di convergenza.
@maurer: le due serie da te indicate hanno lo stesso carattere (divergono a $+\infty$).
Infatti, se le due serie sono a termini positivi ed esistono due costanti $a,b>0$ tali che
$a\le \frac{a_n}{b_n}\le b$ definitivamente,
allora le due serie hanno lo stesso carattere (anche se non esiste il $\lim_n \frac{a_n}{b_n}$).
Infatti, se le due serie sono a termini positivi ed esistono due costanti $a,b>0$ tali che
$a\le \frac{a_n}{b_n}\le b$ definitivamente,
allora le due serie hanno lo stesso carattere (anche se non esiste il $\lim_n \frac{a_n}{b_n}$).
Si infatti. Ma il mio dubbio consisteva proprio in questo, ho formulato male la domanda che doveva essere: ma se una seria non soddisfa la CN allora a priori risulta divergente? Ora ho scoperto che la risposta è affermativa. Scusate.
Nella mia prima domanda mi ero confuso perchè dopo aver trovato le costanti a e b che delimitano il rapporto [tex]\frac{a_n}{b_n}[/tex] ed aver moltiplicato per [tex]{b_n}[/tex] il prof era arrivato alla seguente disuguaglianza :
[tex]a*b_n\le a_n \le b*b_n[/tex]
e chiamati [tex]S'_n=\sum b_i[/tex] e [tex]S_n=\sum a_i[/tex] entrembe le somme per i che va da 1 ad n, segue che:
[tex]a*S'_n \le S_n \le b*S'_n[/tex]
e da questo si dovrebbe denotare che le due serie hanno lo stesso carattere....ma non ho capito in che modo
Nella mia prima domanda mi ero confuso perchè dopo aver trovato le costanti a e b che delimitano il rapporto [tex]\frac{a_n}{b_n}[/tex] ed aver moltiplicato per [tex]{b_n}[/tex] il prof era arrivato alla seguente disuguaglianza :
[tex]a*b_n\le a_n \le b*b_n[/tex]
e chiamati [tex]S'_n=\sum b_i[/tex] e [tex]S_n=\sum a_i[/tex] entrembe le somme per i che va da 1 ad n, segue che:
[tex]a*S'_n \le S_n \le b*S'_n[/tex]
e da questo si dovrebbe denotare che le due serie hanno lo stesso carattere....ma non ho capito in che modo
@gac: aspetta un attimo. Cosa intendi tu per carattere di una serie?
Se non è verificata la condizione necessaria (termine generale che tende a 0), la serie non è convergente.
Per me (ma non per tutti) dire che è divergente significa che diverge a $+\infty$ o a $-\infty$.
Per fare un esempio, $\sum (-1)^n$ non è convergente, ma io non direi che è divergente...
Per me (ma non per tutti) dire che è divergente significa che diverge a $+\infty$ o a $-\infty$.
Per fare un esempio, $\sum (-1)^n$ non è convergente, ma io non direi che è divergente...
@maurer: stabilire il carattere di una serie significa dire se è convergente, o divergente (a $+\infty$ o $-\infty$), o oscillante.
Tradotto in termini della successione delle somme parziali, significa stabilire se questa successione è convergente, o divergente (a $\pm\infty$), oppure non ammette limite.
Tradotto in termini della successione delle somme parziali, significa stabilire se questa successione è convergente, o divergente (a $\pm\infty$), oppure non ammette limite.
Sì hai ragione... ho scritto una cavolata... vi prego di scusarmi...
ehm...e invece per quanto riguarda il mio dubbio? 
EDIT: che è questo:
EDIT: che è questo:
"gac":
Infatti, se le due serie sono a termini positivi ed esistono due costanti $a,b>0$ tali che
$a\le \frac{a_n}{b_n}\le b$ definitivamente,
allora le due serie hanno lo stesso carattere (anche se non esiste il $\lim_n \frac{a_n}{b_n}$).
Beh, da [tex]$\alpha \leq \frac{a_n}{b_n} \leq \beta$[/tex] ricavi immediatamente [tex]$\alpha b_n \leq a_n \leq \beta b_n$[/tex] (visto che i [tex]$b_n$[/tex] sono positivi).
Per il criterio del confronto, se [tex]$\sum b_n$[/tex] converge (sicché converge la serie [tex]$\sum \beta b_n$[/tex]) allora [tex]$\sum a_n$[/tex] pure converge; viceversa se [tex]$\sum a_n$[/tex] converge allora converge [tex]$\sum \alpha b_n$[/tex] e perciò anche [tex]$\sum b_n$[/tex].
Se una tra [tex]$\sum a_n,\ \sum b_n$[/tex] diverge allora te la cavi come sopra.
Come vedi effettivamente non hai bisogno della regolarità della successione dei rapporti.
Per il criterio del confronto, se [tex]$\sum b_n$[/tex] converge (sicché converge la serie [tex]$\sum \beta b_n$[/tex]) allora [tex]$\sum a_n$[/tex] pure converge; viceversa se [tex]$\sum a_n$[/tex] converge allora converge [tex]$\sum \alpha b_n$[/tex] e perciò anche [tex]$\sum b_n$[/tex].
Se una tra [tex]$\sum a_n,\ \sum b_n$[/tex] diverge allora te la cavi come sopra.
Come vedi effettivamente non hai bisogno della regolarità della successione dei rapporti.
Ok. Non avevo capito perchè credevo che il criterio del confronto fosse la conseguenza di questa limitatezza del rapporto delle successioni, invece è il contrario. Grazie.
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