Dubbio su trasformata Laplace

[adrenalinico]

L'esercizio è la risoluzione di un problema di Cauchy utilizzando la trasformata di Laplace.

L'equazione è:

y"+4y' = 1 + t;

Il dubbio è sulla trasformazione del termine noto.

Devo effettuare la trasformazione $L[1+t] = 1/s^2e^s$ oppure $L[u(t) + tu(t)] = 1/s + 1/s^2$.

Con qualche riflessione ho optato per la prima scelta....ma mi resta qualche perplessità.

[Kroldar]

Devi risolvere un problema di Cauchy senza condizioni iniziali?
Solitamente per questi esercizi si danno le condizioni iniziali e si chiede di risolverli in $[0,+oo)$.

[adrenalinico]

"Kroldar":Devi risolvere un problema di Cauchy senza condizioni iniziali?
Solitamente per questi esercizi si danno le condizioni iniziali e si chiede di risolverli in $[0,+oo)$.

Si, ovviamente le condizioni iniziali ci sono (y(0)=y'(0)=0, da risolvere in [0, +oo].
Le ho omesse poichè il mio dubbio non era sullo svolgimento dell'esrcizio nel suo complesso ma solo sulla trasformazione del termine noto.

[Kroldar]

E allora scusa... risolvere in $[0,+oo)$ vuol dire che non devi discriminare funzioni che sono uguali in $[0,+oo)$, dunque la trasformazione è necessariamente unilatera.
Tra l'altro, se usassi la trasformazione bilatera, come ce le faresti entrare le condizioni iniziali?

[adrenalinico]

"Kroldar":E allora scusa... risolvere in $[0,+oo)$ vuol dire che non devi discriminare funzioni che sono uguali in $[0,+oo)$, dunque la trasformazione è necessariamente unilatera.
Tra l'altro, se usassi la trasformazione bilatera, come ce le faresti entrare le condizioni iniziali?

Quindi devo procedere considerando 1=u(t) e t=u(t)t?
Scusami ho le idee un po confuse...

[Kroldar]

"adrenalinico":
Quindi devo procedere considerando 1=u(t) e t=u(t)t?

Nel tuo caso, sì.

Il mio professore invece faceva la distinzione fra trasformata unilatera (integrale di Laplace tra $0$ e $+oo$) e bilatera (integrale esteso a $RR$).

E' lo stesso in ogni caso.