Dubbio su teoria della misura

[Gatto891]

Premessa: stiamo facendo qualche accenno di teoria della misura (che dovremmo fare il prossimo semestre) a probabilità2 senza averla mai fatta prima, e quindi molte cose sono state date per buone senza dimostrazione e sono rimasti alcuni dubbi... un paio in particolare:

1) Dato un insieme $S$, una $sigma$-algebra è una famiglia di sottoinsiemi di $S$ chiusa sotto passaggio al complementare e unione numerabile. In particolare quindi $P(S)$ (insieme delle parti di $S$) è una $sigma$-algebra. Infine, un insieme $A$ si dice misurabile se $A \in sigma$-algebra. ma quindi in questo caso ogni sottoinsieme di $S$ sarebbe misurabile? Perchè a quanto ho capito stavamo lavorando per sistemare bene le cose proprio perchè alcuni sottoinsiemi di $S$ davano problemi se assunti come misurabili in qualunque $sigma$-algebra...

2) Abbiamo anche introdotto da poco la $sigma$-algebra dei Boreliani come la più piccola algebra che contiene ogni insieme aperto di $RR$, che tuttavia non contiene ogni sottoinsieme di $RR$: il testo dice infatti che si possono creare insiemi che non appartengono a questa $sigma$-algebra senza l'assioma della scelta... ora, sempre da quanto avevo capito a lezione alcuni paradossi (come Banach-Tarski) derivano proprio dal fatto che si assuma l'assioma della scelta: questo non dovrebbe voler dire che per costruire un insieme del genere è necessario usarlo?

Thanks

[Rigel1]

1) $P(S)$ è una $\sigma$-algebra. Il problema è che se tu vuoi definire misure "sensate" (tipo quella di Lebesgue) ti accorgi che non è possibile definirle su tutto $P(S)$; da qui nasce la necessità di considerare $\sigma$-algebre più piccole.

2) Se vuoi costruire un insieme che non sia Lebesgue-misurabile hai effettivamente bisogno dell'assioma della scelta.
Viceversa, l'esistenza di insiemi misurabili non Boreliani si può dimostrare con un argomento di cardinalità (cfr. Rudin, "Real and Complex Analysis", p. 53).
L'argomento è di questo tipo (scopiazzo spudoratamente):
$\mathbb{R}$ ha una base numerabile, composta ad esempio da tutti gli intorni $(x-r,x+r)$ con $x, r$ razionali, $r>0$.
La $\sigma$-algebra di Borel è generata da questa base, e si dimostra che ha quindi la cardinalità del continuo $c$.
D'altra parte, esistono insiemi Lebesgue-misurabili che hanno misura di Lebesgue nulla e potenza del continuo $c$ (uno è il classico insieme di Cantor).
Poiché la misura di Lebesgue è completa, tutti i $2^c$ sottoinsiemi di un tale insieme sono misurabili. D'altra parte $2^c > c$, dunque ci sono insiemi misurabili che non sono Boreliani.

[Gatto891]

Grazie, chiarissimo