Dubbio su teorema di Abel (Serie di potenze)
Dunque, abbiamo la serie di potenze $ sum_(n = 0)^(oo ) a_n x^n $ e supponiamo di aver determinato per essa raggio di convergenza R.
Il teorema di Abel mi dice che la serie converge assolutamente nell'intervallo ]-R,R[ e totalmente in ogni limitato contenuto nell'intervallo aperto.
Non capisco il perchè di questa doppia specifica, se so che in ogni intervallo limitato contenuto in ]-R,R[ la convergenza è totale, perchè non è totale anche in ]-R;R[ stesso? (cosa che mi viene da pensare dato che posso prendere tutti i limitati che voglio in ]-R,R[ perchè è aperto, quindi non vedo dove è che apprezzerei la sola convergenza assoluta ma non uniforme)...dove è che sbaglio?
Grazie a chi vorrà rispondermi.
Il teorema di Abel mi dice che la serie converge assolutamente nell'intervallo ]-R,R[ e totalmente in ogni limitato contenuto nell'intervallo aperto.
Non capisco il perchè di questa doppia specifica, se so che in ogni intervallo limitato contenuto in ]-R,R[ la convergenza è totale, perchè non è totale anche in ]-R;R[ stesso? (cosa che mi viene da pensare dato che posso prendere tutti i limitati che voglio in ]-R,R[ perchè è aperto, quindi non vedo dove è che apprezzerei la sola convergenza assoluta ma non uniforme)...dove è che sbaglio?
Grazie a chi vorrà rispondermi.
Risposte
Considera la serie geometrica...
L'esempio più semplice è quello proposto da Gugo.
Sbagli perchè non hai considerato che non sarebbe possibile dimostrare il teorema, in generale, nell'ipotesi che considera l'intervallo di convergenza chiuso a contenere i suoi estremi, e questo proprio per l'esistenza di un esempio concreto come quello che ti ha proposto Gugo.
Fai caso all'ipotesi di un teorema, se non ne dimostra la necessità, normalmente vuol dire che non vale in generale, e quindi cerchi un esempio. Ciao
Sbagli perchè non hai considerato che non sarebbe possibile dimostrare il teorema, in generale, nell'ipotesi che considera l'intervallo di convergenza chiuso a contenere i suoi estremi, e questo proprio per l'esistenza di un esempio concreto come quello che ti ha proposto Gugo.
Fai caso all'ipotesi di un teorema, se non ne dimostra la necessità, normalmente vuol dire che non vale in generale, e quindi cerchi un esempio. Ciao
Grazie a tutti per la delucidazione. In particolare il post suggerito da dissonance ha come argomento la stessa identica questione!
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