Dubbio su sviluppo in serie di Laurent
Scusate qualcosa mi confonde nelle serie di Laurent. Tipicamente le so fare ma se ho la seguente funzione:
$f(z)=1/(z+1)^3$
Perché secondo il "libro di testo" (in questo caso appunti) lo sviluppo in serie di Laurent della nostra $f(z)$ ce lo abbiamo già?
Dovrei calcolarmi il residuo, ovvero in questo caso, il coefficiente $C_{-1}$, che a quanto pare vale $0$.
Ma io non lo "vedo"... Com'è la faccenda?
$f(z)=1/(z+1)^3$
Perché secondo il "libro di testo" (in questo caso appunti) lo sviluppo in serie di Laurent della nostra $f(z)$ ce lo abbiamo già?
Dovrei calcolarmi il residuo, ovvero in questo caso, il coefficiente $C_{-1}$, che a quanto pare vale $0$.
Ma io non lo "vedo"... Com'è la faccenda?
Risposte
Se tu intendi serie di Laurent nel punto -1, effettivamente è banale:
$f(z)=(z-(-1))^-3$
$f(z)=(z-(-1))^-3$
ok, ma in questo caso io non avrei solo termini della serie a potenze positive... come dicono gli appunti.
Sul fatto del $(z-(-1))$ ora sono un po' più convinto sul fatto che sia centrata in -1, ma di solito quando faccio lo sviluppo in serie di Laurent (per esempio di $\sin z$) prendo la tabella delle serie note (degli sviluppi noti) e rielaboro la f(z) originale... In questo caso però non lo posso fare, e questo mi confonde..
Sul fatto del $(z-(-1))$ ora sono un po' più convinto sul fatto che sia centrata in -1, ma di solito quando faccio lo sviluppo in serie di Laurent (per esempio di $\sin z$) prendo la tabella delle serie note (degli sviluppi noti) e rielaboro la f(z) originale... In questo caso però non lo posso fare, e questo mi confonde..
E' che questa è già scritta in serie di Laurent: in pratica tutti i coefficienti sono nulli tranne $a_{-3}$. Se non mi sbaglio, ovviamente. 
Ho capito, ora mi pare tutto chiaro.. Il fatto che sia centrata in $z_0=-1$ fa sì che ci sia quel $z+1$ (che poi è elevato al cubo ok..) e viceversa...
Quindi essendoci solo un'unica potenza negativa, ovvero quella con il coefficiente $a_{-3}$ (che io chiamerei, nel mio caso $C_{-3}$), mi fa dedurre che $C_{-1}$ sia zero e sia nullo anche il residuo...
Dovrebbe essere così..
grazie.
Quindi essendoci solo un'unica potenza negativa, ovvero quella con il coefficiente $a_{-3}$ (che io chiamerei, nel mio caso $C_{-3}$), mi fa dedurre che $C_{-1}$ sia zero e sia nullo anche il residuo...
Dovrebbe essere così..
grazie.
Sì intendevo quello, prego. 
Lo sviluppo in serie di Laurent di una funzione $f(z)$ centrato in $z_0=-1$ deve assumere la forma
$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z+1)^n$.
Tu sai che $f(z)=(z+1)^{-3}$ e questo ti fa concludere che hai già scritto la funzione in serie di Laurent, assumendo che
$a_n=\{(0\qquad n\ne -3),(1\qquad n=-3):}$
Ecco il perché di ciò che afferma il tuo libro.
$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n (z+1)^n$.
Tu sai che $f(z)=(z+1)^{-3}$ e questo ti fa concludere che hai già scritto la funzione in serie di Laurent, assumendo che
$a_n=\{(0\qquad n\ne -3),(1\qquad n=-3):}$
Ecco il perché di ciò che afferma il tuo libro.
Grazie mille a tutti,
avete chiarito anche questo mio altro dubbio.
Grazie.
avete chiarito anche questo mio altro dubbio.
Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo