Dubbio su sviluppo di una funzione
Buongiorno a tutti, sto svolgendo un integrale improprio e avrei un dubbio su un metodo di risoluzione che illustra il mio libro in quanto usa lo sviluppo della funzione integranda nell'intorno interessato per fare delle considerazioni che non comprendo appieno. Vi mostro lo svolgimento dell'esercizio e i passaggi fatti dal mio libro sperando che possiate spiegarmi la teoria che sta dietro a quei punti dove incontro delle dificoltà:
stabilire per quali valori del parametro reale $a$ converge l'integrale
$\int_0^+infty 1/(ax + e^(2x))dx$
Per $x-> +infty$ ho che
$f_a (x) <= 1/(x^2)$
e quindi l'integrale improprio converge per ogni $a$.
Analogamente non ho problemi per $a >= 0$ poichè la funzione è continua su $[0,+infty)$.
Se a < 0 chiamo il denominatore $g(x) = ax + e^(2x)$ e studio quando la funzione si annulla su $[0,+infty)$.
ho che $g(0) = 1$ e $\lim_{x \to \+infty}g(x) = +infty$ ; la derivata $g'(x) = a + 2e^(2x)$ si annulla s.se $x= 1/2 log(-a/2)$
Sostituendo
$g(1/2 log(-a/2)) = a/2 (log(-a/2) -1)$ che è minimo.
Se il minimo è positivo, cioè per $a>-2e$ la funzione $g$ non si annulla e quindi l integrale converge.
Fin qui tutto bene, dovrei aver capito tutto. Ora però arriva la parte che non capisco.
Se a< -2e, la funzione presenta due zeri $x_a$ e $y_a$ (due poichè essa è continua e passa da un valore positivo a un minimo negativo per poi crescere a più infinito giusto?) e si ha:
per $x-> x_a$ si ha $g(x) ~ g'(x_a)(x- x_a)$
per $x-> y_a$ si ha $g(x) ~ g'(y_a)(x- y_a)$
cioè gli zeri sono del primo ordine. Ecco qui il primo dubbio consistente: cosa significa di preciso che sono del primo ordine? Quello che io vedo qui è che viene fatto uno sviluppo nell'intorno dello zero interessato, dove chiaramente $g(x*)$ si annulla, mentre viene fermato lo sviluppo al primo ordine, immagino poiché sia il primo termine che non si annulla, ma come faccio a capire che è il primo termine a non annullarsi?
Vi chiedo: le mie osservazioni sono giuste rispetto a questo problema? e in più potreste spiegarmi bene tutto questo discorso dell'analisi degli zeri? Perchè se lo zero è del primo ordine allora il mio integrale non converge?
Andando avanti nell'esercizio riscontro un dubbio inerente a questo discorso, ovvero se $a = -2e$ lo zero è solo uno, sia $z_a$, ma è del secondo ordine, ovvero
per $x -> z_a$ si ha $g(x) ~ (g''(z_a))/2 (x-z_a)^2$
e il libro mi dice che neanche in questo caso si ha convergenza poichè 'integrale non converge in un intorno di uno zero del denominatore. Ma anche qui non capisco perché, ne capisco perchè il fatto che lo zero sia del secondo ordine sia ancora peggio dei precedenti zeri del primo ordine, è perchè si tratta di un'approssimazione ancora più grossolana nell'intorno specifico?
vi ringrazio per l'attenzione e spero possiate darmi una mano
stabilire per quali valori del parametro reale $a$ converge l'integrale
$\int_0^+infty 1/(ax + e^(2x))dx$
Per $x-> +infty$ ho che
$f_a (x) <= 1/(x^2)$
e quindi l'integrale improprio converge per ogni $a$.
Analogamente non ho problemi per $a >= 0$ poichè la funzione è continua su $[0,+infty)$.
Se a < 0 chiamo il denominatore $g(x) = ax + e^(2x)$ e studio quando la funzione si annulla su $[0,+infty)$.
ho che $g(0) = 1$ e $\lim_{x \to \+infty}g(x) = +infty$ ; la derivata $g'(x) = a + 2e^(2x)$ si annulla s.se $x= 1/2 log(-a/2)$
Sostituendo
$g(1/2 log(-a/2)) = a/2 (log(-a/2) -1)$ che è minimo.
Se il minimo è positivo, cioè per $a>-2e$ la funzione $g$ non si annulla e quindi l integrale converge.
Fin qui tutto bene, dovrei aver capito tutto. Ora però arriva la parte che non capisco.
Se a< -2e, la funzione presenta due zeri $x_a$ e $y_a$ (due poichè essa è continua e passa da un valore positivo a un minimo negativo per poi crescere a più infinito giusto?) e si ha:
per $x-> x_a$ si ha $g(x) ~ g'(x_a)(x- x_a)$
per $x-> y_a$ si ha $g(x) ~ g'(y_a)(x- y_a)$
cioè gli zeri sono del primo ordine. Ecco qui il primo dubbio consistente: cosa significa di preciso che sono del primo ordine? Quello che io vedo qui è che viene fatto uno sviluppo nell'intorno dello zero interessato, dove chiaramente $g(x*)$ si annulla, mentre viene fermato lo sviluppo al primo ordine, immagino poiché sia il primo termine che non si annulla, ma come faccio a capire che è il primo termine a non annullarsi?
Vi chiedo: le mie osservazioni sono giuste rispetto a questo problema? e in più potreste spiegarmi bene tutto questo discorso dell'analisi degli zeri? Perchè se lo zero è del primo ordine allora il mio integrale non converge?
Andando avanti nell'esercizio riscontro un dubbio inerente a questo discorso, ovvero se $a = -2e$ lo zero è solo uno, sia $z_a$, ma è del secondo ordine, ovvero
per $x -> z_a$ si ha $g(x) ~ (g''(z_a))/2 (x-z_a)^2$
e il libro mi dice che neanche in questo caso si ha convergenza poichè 'integrale non converge in un intorno di uno zero del denominatore. Ma anche qui non capisco perché, ne capisco perchè il fatto che lo zero sia del secondo ordine sia ancora peggio dei precedenti zeri del primo ordine, è perchè si tratta di un'approssimazione ancora più grossolana nell'intorno specifico?
vi ringrazio per l'attenzione e spero possiate darmi una mano
Risposte
Sull'esercizio, sono d'accordo che i punti problematici per l'assoluta convergenza sono solo gli eventuali zeri del denominatore, visto che \(0\) e un punto di continuità e che la funzione decade molto rapidamente a \(x\to \infty\). L'analisi dell'ordine di infinitesimo è un trucco pratico molto comodo per stabilire velocemente la convergenza degli integrali impropri perché molto spesso ti permette di ricondurti a integrali più semplici. Ad esempio, supponiamo di analizzare la convergenza assoluta dell'integrale
\[
\int_a^b \frac{1}{f(x)}\, dx, \]
dove \(a\) e \(b\) potrebbero essere anche infiniti, non è importante. Se nell'intervallo \((a, b)\) c'è uno zero di \(f=f(x)\), e se si può fare uno sviluppo di Taylor come questo:
\[
f(x)=f'(x_0)(x-x_0)^k + O((x-x_0)^{k+1}), \]
(dove naturalmente \(f'(x_0)\ne 0\)) allora in un intornino abbastanza piccolo di \(x_0\) si può fare una stima di \(f\) come questa:
\[
c\lvert f'(x_0)\rvert |x-x_0|^k \le \lvert f(x)\rvert \le C\lvert f'(x_0)\rvert|x-x_0|^k, \]
dove \(c\) e \(C\) sono due costanti che non conosciamo, ma che neanche importa conoscere. Di conseguenza, per l'additività dell'integrale abbiamo che
\[
\int_a^b \lvert f(x)\rvert\, dx = \int_{\text{intornino di }x_0} \lvert f(x)\rvert\, dx +\int_{\text{resto dell'intervallo}}\lvert f(x)\rvert\, dx, \]
e l'integrale sull'intornino verifica queste stime:
\[
\frac{1}{C \lvert f'(x_0)\rvert} \int \frac{dx}{\lvert x-x_0\rvert^k} \le \int \lvert f(x)\rvert\, dx \le \frac{1}{c \lvert f'(x_0)\rvert} \int \frac{dx}{\lvert x-x_0\rvert^k}.\]
Nota che si è formato un panino con a destra e a sinistra due integrali di cui conosci il comportamento perché puoi calcolarne esplicitamente una primitiva. (Di solito uno se li studia con \(x_0=0\), unicamente per comodità di notazioni). Se converge quello di destra (e quindi anche quello di sinistra), converge anche l'integrale di \(\lvert f(x)\rvert\); viceversa, se diverge quello di sinistra (e quindi anche quello di destra), diverge anche l'integrale di \(\lvert f(x)\rvert\). In quest'ultimo caso, anche l'integrale iniziale diverge.
\[
\int_a^b \frac{1}{f(x)}\, dx, \]
dove \(a\) e \(b\) potrebbero essere anche infiniti, non è importante. Se nell'intervallo \((a, b)\) c'è uno zero di \(f=f(x)\), e se si può fare uno sviluppo di Taylor come questo:
\[
f(x)=f'(x_0)(x-x_0)^k + O((x-x_0)^{k+1}), \]
(dove naturalmente \(f'(x_0)\ne 0\)) allora in un intornino abbastanza piccolo di \(x_0\) si può fare una stima di \(f\) come questa:
\[
c\lvert f'(x_0)\rvert |x-x_0|^k \le \lvert f(x)\rvert \le C\lvert f'(x_0)\rvert|x-x_0|^k, \]
dove \(c\) e \(C\) sono due costanti che non conosciamo, ma che neanche importa conoscere. Di conseguenza, per l'additività dell'integrale abbiamo che
\[
\int_a^b \lvert f(x)\rvert\, dx = \int_{\text{intornino di }x_0} \lvert f(x)\rvert\, dx +\int_{\text{resto dell'intervallo}}\lvert f(x)\rvert\, dx, \]
e l'integrale sull'intornino verifica queste stime:
\[
\frac{1}{C \lvert f'(x_0)\rvert} \int \frac{dx}{\lvert x-x_0\rvert^k} \le \int \lvert f(x)\rvert\, dx \le \frac{1}{c \lvert f'(x_0)\rvert} \int \frac{dx}{\lvert x-x_0\rvert^k}.\]
Nota che si è formato un panino con a destra e a sinistra due integrali di cui conosci il comportamento perché puoi calcolarne esplicitamente una primitiva. (Di solito uno se li studia con \(x_0=0\), unicamente per comodità di notazioni). Se converge quello di destra (e quindi anche quello di sinistra), converge anche l'integrale di \(\lvert f(x)\rvert\); viceversa, se diverge quello di sinistra (e quindi anche quello di destra), diverge anche l'integrale di \(\lvert f(x)\rvert\). In quest'ultimo caso, anche l'integrale iniziale diverge.
Innanzitutto grazie dissonance per la spiegazione, penso di aver capito tutti i passaggi che fai, ma ho un dubbio sull'ultima disuguaglianza
se la convergenza dipende in ultimo da queste disuguaglianze mi viene da pensare che l'unica cosa rilevante per stabilire la convergenza sia l'incremento $ |x -x_0| $ e il relativo grado a cui è elevato, no? Quindi l'unico ruolo che lo sviluppo svolge è quello di stabilire appunto come è fatto l'incremento, giusto?
detto questo, ciò significa che, in un ipotetico esercizio di questo tipo in cui vado a vedere quando una funzione ha degli zeri che mi creano problemi, devo andare a sviluppare la funzione fino al primo grado non nullo(chiaramente) e guardare la forma dell'incremento che mi ritrovo ad avere: se l'integrale improprio di, ad esempio
$\int_{a}^{x_0} (dx)/(|x -x_0|^k)$
converge, allora ho che nell'intorno dello zero in questione la mia funzione originale è integrabile(dal teorema del confronto, come dicevi tu) e quindi lo zero non mi crea problemi, giusto?
Ripeto tutto questo un po' per essere sicuro di aver capito il tuo discorso e un po' perchè quello che diceva il mio libro sulla gravità dello zero di essere di secondo ordine mi mandava in confusione. Per capire, prendendo come esempio l'esercizio che ho proposto:
1) quando ho gli zeri del primo ordine, per $a < -2e$, prendendone uno solo a titolo esplicativo:
per $x-> x_a$ si ha $g(x) ~ g'(x_a)(x- x_a)$
quindi andando a guardare l'integrale della funzione che maggiorerà il mio integrale originario ho:
$1/(c|g'(x_a)|) \int_{α}^{x_a} (dx)/(|x -x_a|)$
che chiaramente non converge. Ma qui mi sorge un dubbio e penso di star sbagliando qualcosa di grave, ma scusa, integrali di questa forma non divergono sempre per $k >=1$ se valutati su intervalli finiti?
"dissonance":
\[ \frac{1}{C \lvert f'(x_0)\rvert} \int \frac{dx}{\lvert x-x_0\rvert^k} \le \int \lvert f(x)\rvert\, dx \le \frac{1}{c \lvert f'(x_0)\rvert} \int \frac{dx}{\lvert x-x_0\rvert^k}. \]
se la convergenza dipende in ultimo da queste disuguaglianze mi viene da pensare che l'unica cosa rilevante per stabilire la convergenza sia l'incremento $ |x -x_0| $ e il relativo grado a cui è elevato, no? Quindi l'unico ruolo che lo sviluppo svolge è quello di stabilire appunto come è fatto l'incremento, giusto?
detto questo, ciò significa che, in un ipotetico esercizio di questo tipo in cui vado a vedere quando una funzione ha degli zeri che mi creano problemi, devo andare a sviluppare la funzione fino al primo grado non nullo(chiaramente) e guardare la forma dell'incremento che mi ritrovo ad avere: se l'integrale improprio di, ad esempio
$\int_{a}^{x_0} (dx)/(|x -x_0|^k)$
converge, allora ho che nell'intorno dello zero in questione la mia funzione originale è integrabile(dal teorema del confronto, come dicevi tu) e quindi lo zero non mi crea problemi, giusto?
Ripeto tutto questo un po' per essere sicuro di aver capito il tuo discorso e un po' perchè quello che diceva il mio libro sulla gravità dello zero di essere di secondo ordine mi mandava in confusione. Per capire, prendendo come esempio l'esercizio che ho proposto:
1) quando ho gli zeri del primo ordine, per $a < -2e$, prendendone uno solo a titolo esplicativo:
per $x-> x_a$ si ha $g(x) ~ g'(x_a)(x- x_a)$
quindi andando a guardare l'integrale della funzione che maggiorerà il mio integrale originario ho:
$1/(c|g'(x_a)|) \int_{α}^{x_a} (dx)/(|x -x_a|)$
che chiaramente non converge. Ma qui mi sorge un dubbio e penso di star sbagliando qualcosa di grave, ma scusa, integrali di questa forma non divergono sempre per $k >=1$ se valutati su intervalli finiti?
Ma qui mi sorge un dubbio e penso di star sbagliando qualcosa di grave, ma scusa, integrali di questa forma non divergono sempre per k≥1 se valutati su intervalli finiti?
Se ti viene questo dubbio, invece di andare a memoria, calcolati una primitiva. Infatti, cambiando variabile hai
\[
\int_{x_a-\epsilon}^{x_a+\epsilon} \frac{dx}{\lvert x-x_a\rvert^{k}}=\int_{-\epsilon}^\epsilon \frac{dx}{|x|^k}=2\int_0^\epsilon \frac{dx}{x^k}, \]
e tu sai calcolare esplicitamente l'ultimo integrale. (Nota: non è obbligatorio che \(k\) sia un intero.)
ancora grazie per la risposta, ma non mi torna il perchè $k$ non deve essere necessariamente un intero. Mi spiego: il grado $k$ a cui è elevato il mio incremento salta fuori dal mio sviluppo di Taylor, che posso vedere come
$f(x)=\sum_{i=0}^\n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
dove $k$ è intero, no?
$f(x)=\sum_{i=0}^\n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$
dove $k$ è intero, no?
Si, ma può capitare che tu abbia una roba tipo
\[
\sqrt{f(x)}.\]
Sviluppi \(f(x)\) secondo Taylor, poi hai una radice quadrata che ti falsa tutti gli interi. Ma tanto noi non ci preoccupiamo perché abbiamo capito come stabilire la convergenza anche con ordini di infinito/infinitesimo non interi.
\[
\sqrt{f(x)}.\]
Sviluppi \(f(x)\) secondo Taylor, poi hai una radice quadrata che ti falsa tutti gli interi. Ma tanto noi non ci preoccupiamo perché abbiamo capito come stabilire la convergenza anche con ordini di infinito/infinitesimo non interi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo