Dubbio su sviluppo di questa formula.
Buonasera a tutti , intanto spero che questa volta si riesca a vedere la formula e in secondo luogo vi chiedo di aiutarmi a capire come sviluppare questo prodotto scalare con tutte le rispettive proprietà . Grazie
\(\displaystyle < f-\sum_{i=1}^{n}< phi_i,f> phi_i> ,f-\sum_{j=1}^{n}< phi_j,f> phi_j> \)
\(\displaystyle < f-\sum_{i=1}^{n}< phi_i,f> phi_i> ,f-\sum_{j=1}^{n}< phi_j,f> phi_j> \)
Risposte
ma a me fa vedere correttamente la formula 
Beh, non credo tu veda \(\phi_i\), ad esempio... 
Ad ogni modo, posta i tuoi conti.
Ad ogni modo, posta i tuoi conti.
mi sembra di capire che il problema stia nell utilizzo di phi_i. E' cosi??
\(\displaystyle
< f-\sum_{i=1}^{n}< phi_i,f> phi_i> ,f-\sum_{j=1}^{n}< phi_j,f> phi_j> =
< f,f> - < f,\sum_{j=1}^{n}< phi_j,f>phi_j>-< \sum_{i=1}^{n}< phi_i,f>phi_i,f> + < \sum_{i=1}^{n}< phi_i,f> phi_i,\sum_{j=1}^{n}< phi_j,f> phi_j> =\left \| f \right \|^{2}-\sum_{i=1}^{n}< f,phi_i> < phi_i,f> -\sum_{j=1}^{n}< phi_j,f> < f,phi_j> +...
\)
Io procedo cosi , intanto ciò che faccio è giusto?!
Poi il quarto termine come esce fuori?
Chiedo scusa se sbaglio ancora nello scrivere il codice , spero avrò modo di capire e di migliorarmi..
< f-\sum_{i=1}^{n}< phi_i,f> phi_i> ,f-\sum_{j=1}^{n}< phi_j,f> phi_j> =
< f,f> - < f,\sum_{j=1}^{n}< phi_j,f>phi_j>-< \sum_{i=1}^{n}< phi_i,f>phi_i,f> + < \sum_{i=1}^{n}< phi_i,f> phi_i,\sum_{j=1}^{n}< phi_j,f> phi_j> =\left \| f \right \|^{2}-\sum_{i=1}^{n}< f,phi_i> < phi_i,f> -\sum_{j=1}^{n}< phi_j,f> < f,phi_j> +...
\)
Io procedo cosi , intanto ciò che faccio è giusto?!
Poi il quarto termine come esce fuori?
Chiedo scusa se sbaglio ancora nello scrivere il codice , spero avrò modo di capire e di migliorarmi..
Devi migliorare subito... Dopotutto hai avuto 30 post di "riscaldamento", in cui hai postato sempre le stesse formule, no?
Ad ogni modo:
tra i tag adatti produce la lettera che ti interessa; analogamente, le parentesi angolari si fanno coi comandi:
che produce \(\langle\) e:
che produce \(\rangle\), non con maggiore e minore.
Venendo all'argomento della discussione, assumendo che il prodotto scalare sia un prodotto scalare reale (perché se è complesso, cosa che non specifichi, le cose cambiano!), usando la sola linearità del prodotto scalare hai:
\[
\begin{split}
\left\langle f - \sum_{i=1}^n \langle \phi_i, f\rangle\ \phi_i , f - \sum_{j=1}^n \langle \phi_j, f\rangle\ \phi_j \right\rangle &= |f|^2 - \left\langle f , \sum_{j=1}^n \langle \phi_j, f\rangle\ \phi_j \right\rangle - \left\langle \sum_{i=1}^n \langle \phi_i, f\rangle\ \phi_i , f\right\rangle \\
&\phantom{=} + \left\langle \sum_{i=1}^n \langle \phi_i, f\rangle\ \phi_i , \sum_{j=1}^n \langle \phi_j, f\rangle\ \phi_j \right\rangle\\
&= |f|^2 - \sum_{j=1}^n \langle f, \langle \phi_j, f\rangle\ \phi_j\rangle - \sum_{i=1}^n \langle \langle \phi_i, f\rangle\ \phi_i ,f\rangle \\
&\phantom{=} + \sum_{i,j=1}^n \langle \langle\phi_i, f\rangle\ \phi_i , \langle \phi_j, f\rangle\ \phi_j\rangle\\
&= |f|^2 - \sum_{j=1}^n \langle \phi_j, f\rangle\ \langle f, \phi_j\rangle - \sum_{i=1}^n \langle \phi_i, f\rangle\ \langle \phi_i ,f\rangle \\
&\phantom{=} + \sum_{i,j=1}^n \langle \phi_i, f\rangle\ \langle \phi_j, f\rangle\ \langle \phi_i , \phi_j\rangle\\
&= |f|^2 - \sum_{j=1}^n \big( \langle \phi_j, f\rangle\big)^2 - \sum_{i=1}^n \big(\langle \phi_i, f\rangle\big)^2 \\
&\phantom{=} + \sum_{i,j=1}^n \langle \phi_i, f\rangle\ \langle \phi_j, f\rangle\ \delta_{i,j}\\
&= |f|^2 - \sum_{j=1}^n \big( \langle \phi_j, f\rangle\big)^2 - \sum_{i=1}^n \big(\langle \phi_i, f\rangle\big)^2 \\
&\phantom{=} + \sum_{i=1}^n \big(\langle \phi_i, f\rangle\big)^2\\
&= |f|^2 - \sum_{j=1}^n \big( \langle \phi_j, f\rangle\big)^2
\end{split}
\]
con gli ultimi passaggi validi se gli \(\phi_k\) sono ortonormali (cosa che non specifichi, ma che credo vera se penso agli altri tuoi post).
Come vedi sono tutti passaggi facili, che usano le proprietà di base di un prodotto scalare reale (simmetria e bilinearità).
Quando hai difficoltà a portare avanti questi conti in generale, l'unica cosa sensata da fare è scrivere esplicitamente le sommatorie per \(n=2\) o \(n=3\) (ad esempio) e fare i conti in maniera esplicita, lasciando all'intuizione stabilire per analogia come vanno le cose in generale.
Ad ogni modo:
\phi_i
tra i tag adatti produce la lettera che ti interessa; analogamente, le parentesi angolari si fanno coi comandi:
\langle
che produce \(\langle\) e:
\rangle
che produce \(\rangle\), non con maggiore e minore.
Venendo all'argomento della discussione, assumendo che il prodotto scalare sia un prodotto scalare reale (perché se è complesso, cosa che non specifichi, le cose cambiano!), usando la sola linearità del prodotto scalare hai:
\[
\begin{split}
\left\langle f - \sum_{i=1}^n \langle \phi_i, f\rangle\ \phi_i , f - \sum_{j=1}^n \langle \phi_j, f\rangle\ \phi_j \right\rangle &= |f|^2 - \left\langle f , \sum_{j=1}^n \langle \phi_j, f\rangle\ \phi_j \right\rangle - \left\langle \sum_{i=1}^n \langle \phi_i, f\rangle\ \phi_i , f\right\rangle \\
&\phantom{=} + \left\langle \sum_{i=1}^n \langle \phi_i, f\rangle\ \phi_i , \sum_{j=1}^n \langle \phi_j, f\rangle\ \phi_j \right\rangle\\
&= |f|^2 - \sum_{j=1}^n \langle f, \langle \phi_j, f\rangle\ \phi_j\rangle - \sum_{i=1}^n \langle \langle \phi_i, f\rangle\ \phi_i ,f\rangle \\
&\phantom{=} + \sum_{i,j=1}^n \langle \langle\phi_i, f\rangle\ \phi_i , \langle \phi_j, f\rangle\ \phi_j\rangle\\
&= |f|^2 - \sum_{j=1}^n \langle \phi_j, f\rangle\ \langle f, \phi_j\rangle - \sum_{i=1}^n \langle \phi_i, f\rangle\ \langle \phi_i ,f\rangle \\
&\phantom{=} + \sum_{i,j=1}^n \langle \phi_i, f\rangle\ \langle \phi_j, f\rangle\ \langle \phi_i , \phi_j\rangle\\
&= |f|^2 - \sum_{j=1}^n \big( \langle \phi_j, f\rangle\big)^2 - \sum_{i=1}^n \big(\langle \phi_i, f\rangle\big)^2 \\
&\phantom{=} + \sum_{i,j=1}^n \langle \phi_i, f\rangle\ \langle \phi_j, f\rangle\ \delta_{i,j}\\
&= |f|^2 - \sum_{j=1}^n \big( \langle \phi_j, f\rangle\big)^2 - \sum_{i=1}^n \big(\langle \phi_i, f\rangle\big)^2 \\
&\phantom{=} + \sum_{i=1}^n \big(\langle \phi_i, f\rangle\big)^2\\
&= |f|^2 - \sum_{j=1}^n \big( \langle \phi_j, f\rangle\big)^2
\end{split}
\]
con gli ultimi passaggi validi se gli \(\phi_k\) sono ortonormali (cosa che non specifichi, ma che credo vera se penso agli altri tuoi post).
Come vedi sono tutti passaggi facili, che usano le proprietà di base di un prodotto scalare reale (simmetria e bilinearità).
Quando hai difficoltà a portare avanti questi conti in generale, l'unica cosa sensata da fare è scrivere esplicitamente le sommatorie per \(n=2\) o \(n=3\) (ad esempio) e fare i conti in maniera esplicita, lasciando all'intuizione stabilire per analogia come vanno le cose in generale.
Grazie per le risposte. Per quanto riguarda le ipotesi di dimostrazione della disuguaglianza di bessel sono : dato un insieme di vettori ortonormali in H, per qualunque vettore che appartiene ad H vale la disuguaglianza. (Quindi è un prodotto scalare reale?).
Poi mi sapresti dire perchè parte in questo modo nella dimostrazione di questo teorema , perchè io non l ho capito.
Grazie soprattutto per la pazienza , cercherò di migliorare.
Io scrivo le equazioni su Latex e mi escono fuori cosi
Poi mi sapresti dire perchè parte in questo modo nella dimostrazione di questo teorema , perchè io non l ho capito.
Grazie soprattutto per la pazienza , cercherò di migliorare.
Io scrivo le equazioni su Latex e mi escono fuori cosi
La disuguaglianza di Bessel vale in tutti e due i casi... Che tu stia usando i prodotti scalari reali o complessi dovrebbe essere stato chiarito fin dall'inizio. Ad esempio, se stai usando sempre scalari reali c'è buona possibilità che tu abbia sotto mano prodotti scalari reali; altrimenti no.
Potrebbe essere utile sapere da che libro studi.
Per il resto, per acquisire la disuguaglianza di Bessel devi far vedere che:
\[
|f|^2 - \sum_{i=1}^n (\langle \phi_i, f\rangle)^2 \geq 0
\]
per ogni \(n\); a questo punto noti che il primo membro altro non è che il quadrato di una norma (in particolare, della norma di \(f-\sum_{i=1}^n \langle \phi_i,f\rangle \phi_i\), perché vale la catena di uguaglianze scritta sopra), dunque esso è nonnegativo e questo ti dimostra la Bessel.
Potrebbe essere utile sapere da che libro studi.
Per il resto, per acquisire la disuguaglianza di Bessel devi far vedere che:
\[
|f|^2 - \sum_{i=1}^n (\langle \phi_i, f\rangle)^2 \geq 0
\]
per ogni \(n\); a questo punto noti che il primo membro altro non è che il quadrato di una norma (in particolare, della norma di \(f-\sum_{i=1}^n \langle \phi_i,f\rangle \phi_i\), perché vale la catena di uguaglianze scritta sopra), dunque esso è nonnegativo e questo ti dimostra la Bessel.
non capisco l idea di partenza della dimostrazione.
Te l'ho spiegata qui:
Riflettici un po' sopra.
"gugo82":
Per il resto, per acquisire la disuguaglianza di Bessel devi far vedere che:
\[
|f|^2 - \sum_{i=1}^n (\langle \phi_i, f\rangle)^2 \geq 0
\]
per ogni \(n\); a questo punto noti che il primo membro altro non è che il quadrato di una norma (in particolare, della norma di \(f-\sum_{i=1}^n \langle \phi_i,f\rangle \phi_i\), perché vale la catena di uguaglianze scritta sopra), dunque esso è nonnegativo e questo ti dimostra la Bessel.
Riflettici un po' sopra.
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