Dubbio su sviluppo di laurent
Salve a tutti, ho la seguente funzione:
f(z)=1/(z(z-1)^2) E facendo lo sviluppo in serie di laurent per |z|>1 si trova una serie che ha infiniti termini a indice negativo il che vorrebbe dire che essa ha singolarità essenziale.... Ma a me sembra che la funzione abbia solo poli quindi non capisco... Aggiungo inoltre questa domanda: posso dire che questa serie è centrata in zero giusto?
Grazie a chi vorrà rispondere .. Domani esame
f(z)=1/(z(z-1)^2) E facendo lo sviluppo in serie di laurent per |z|>1 si trova una serie che ha infiniti termini a indice negativo il che vorrebbe dire che essa ha singolarità essenziale.... Ma a me sembra che la funzione abbia solo poli quindi non capisco... Aggiungo inoltre questa domanda: posso dire che questa serie è centrata in zero giusto?
Grazie a chi vorrà rispondere .. Domani esame
Risposte
"Petruccioli":
Salve a tutti, ho la seguente funzione:
f(z)=1/(z(z-1)^2) E facendo lo sviluppo in serie di laurent per |z|>1 si trova una serie che ha infiniti termini a indice negativo il che vorrebbe dire che essa ha singolarità essenziale....
Ma dove è centrato lo sviluppo?
Praticamente il testo dice di sviluppare in serie per |z| > 1 , poi vedo che nella serie non ho z-z0 Ma ho solo z quindi deduco che sia centrato in zero... Quindi in pratica se ho capito stiamo sviluppando la funzione all'esterno del disco di raggio 1 centrato in zero... Abbiamo dentro il disco 2 poli cui uno nell'origine e l'altro sul bordo del disco .. Perche la serie si estende a meno infinito se non ci sono singol. Essenziali ?
Non è specificato dove sia centrata perche è una esercitazione presa all'uni ... Comunque direi in zero
Calma.
Quella funzione ammette singolarità isolate in $z=0$ e in $z=1$. Ok fin qui?
Poichè le singolarità sono isolate, un noto teorema garantisce l'esistenza di uno (anzi, dello) sviluppo in serie di Laurent.
Mettiamoci in $z=0$.
Troveremo "due" sviluppi di Laurent centrati in z=0: uno valido per gli $|z|<1$ e uno per gli $|z|>1$. E' del tutto ovvio che il tipo di singolarità (ed eventualmente il residuo) della funzione in 0 sarà dato guardando lo sviluppo vicino a 1 (sono concetti locali!).
Quindi, lo sviluppo valido fuori dal cerchio bucato, cioè quello valido per gli $|z|>1$, non fornisce alcuna informazione circa il comportamento della funzione in 0.
Più chiaro ora?
Quella funzione ammette singolarità isolate in $z=0$ e in $z=1$. Ok fin qui?
Poichè le singolarità sono isolate, un noto teorema garantisce l'esistenza di uno (anzi, dello) sviluppo in serie di Laurent.
Mettiamoci in $z=0$.
Troveremo "due" sviluppi di Laurent centrati in z=0: uno valido per gli $|z|<1$ e uno per gli $|z|>1$. E' del tutto ovvio che il tipo di singolarità (ed eventualmente il residuo) della funzione in 0 sarà dato guardando lo sviluppo vicino a 1 (sono concetti locali!).
Quindi, lo sviluppo valido fuori dal cerchio bucato, cioè quello valido per gli $|z|>1$, non fornisce alcuna informazione circa il comportamento della funzione in 0.
Più chiaro ora?
Direi di si... Ok quindi in generale riterrò valido " il contenuto informativo della serie " riguardo alle singolarità fin tanto che essa è sviluppata in un intorno di queste ... Piu precisamente posso estendere l'intorno fino al "primo polo che incontro estendendo il disco" .. Grazie molte
Facciamo tutto l'esercizio per bene, che male non mi fa.
Prendiamo la funzione $f: \Omega \subset \CC \to \CC$ definita da $z \mapsto 1/(z(1-z)^2)$, dove $Omega = CC setminus {0,1}$. Vogliamo scrivere tutti gli sviluppi di Laurent centrati in $z_0=0$.
E' un semplice conto (Analisi I) osservare che $1/(z(1-z)^2) = 1/z + 1/(1-z)+1/(1-z)^2$.
Cominciamo a supporre $|z|<1$. Dalla riduzione in fratti semplici appena fatta, ci teniamo il primo pezzo così com'è (è ia una potenza di $(z-0)=z$!). Il secondo si sviluppa banalmente, ricordando la serie geometrica. Per il terzo serve una finezza (minima) in più e precisamente occorre notare che l'addendo che abbiamo di fronte è esattamente la derivata di $1/(1-z)$ che è di nuovo la somma della geometrica. Grazie al teorema di derivazione termine a termine sappiamo ricavarci uno sviluppo anche per l'ultimo termine.
To sum up, if $|z|<1$ we have
\[
\frac{1}{z} + \frac{1}{1-z}+\frac{1}{(1-z)^2} = \frac{1}{z} + \sum_{n=0}^{\infty} z^n + \sum_{n=1}^{\infty} nz^{n-1}
\]
che con un minimo di rimaneggiamenti diventa
\[
\frac{1}{z} + \frac{1}{1-z}+\frac{1}{(1-z)^2} = \frac{1}{z} + \sum_{n=0}^{\infty} z^n + \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)z^{n}
\]
Aguzziamo la vista e l'ingegno e tiriamo dentro la somma anche il termine $1/z$. In definitiva, se $|z|<1$ abbiamo che
\[
f(z) = \sum_{n=-1}^{\infty} a_n z^n
\]
dove si è posto $a_n : = n+2$.
Oss. La serie comincia con il termine di esponente $-1$: come congetturato, $z=0$ è dunque una singolarità polare del primo ordine e il residuo vale $a_{-1} = -1+2 = 1$.
Supponiamo ora $|z|>1$. L'idea chiave è notare che in questo caso sarà $|1/z|<1$. Allora,
\[
\frac{1}{z} + \frac{1}{1-z}+\frac{1}{(1-z)^2} = \frac{1}{z} + \frac{1}{-z(1-1/z)}+\frac{1}{z^2(1-1/z)^2}
\]
Il secondo addendo è una semplice geometrica in $1/z$ (moltiplicata per $-1/z$); per l'ultimo serve di nuovo l'idea della derivazione. Notiamo che la derivata di $1/(1-1/z)$ è proprio $1/(z^2(1-1/z)^2)$. Ma allora siamo a posto: se $|z|>1$
\[
\frac{1}{z} + \frac{1}{1-z}+\frac{1}{(1-z)^2} = \frac{1}{z} + \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n} + \sum_{n=1}^{\infty} -nz^{-n-1}
\]
da cui, con ovvi trucchi, si ricava lo sviluppo $sum_{m=2}^{\infty}mz^{-m}$, valido all'esterno di $z=1$.
Oss e domanda conclusiva. L'ultimo sviluppo ricavato "serve" a qualcosa? Capisco che la domanda è mal posta ma mi chiedo: che informazioni ci dà (ammesso che ce ne dia) tale sviluppo?
P.S. Sono abbastanza stanco, dunque potrei aver sbagliato un po' di conti. Se qualcuno per caso avesse voglia di controllare, la cosa risulterebbe ovviamente molto gradita. Grazie!
Prendiamo la funzione $f: \Omega \subset \CC \to \CC$ definita da $z \mapsto 1/(z(1-z)^2)$, dove $Omega = CC setminus {0,1}$. Vogliamo scrivere tutti gli sviluppi di Laurent centrati in $z_0=0$.
E' un semplice conto (Analisi I) osservare che $1/(z(1-z)^2) = 1/z + 1/(1-z)+1/(1-z)^2$.
Cominciamo a supporre $|z|<1$. Dalla riduzione in fratti semplici appena fatta, ci teniamo il primo pezzo così com'è (è ia una potenza di $(z-0)=z$!). Il secondo si sviluppa banalmente, ricordando la serie geometrica. Per il terzo serve una finezza (minima) in più e precisamente occorre notare che l'addendo che abbiamo di fronte è esattamente la derivata di $1/(1-z)$ che è di nuovo la somma della geometrica. Grazie al teorema di derivazione termine a termine sappiamo ricavarci uno sviluppo anche per l'ultimo termine.
To sum up, if $|z|<1$ we have
\[
\frac{1}{z} + \frac{1}{1-z}+\frac{1}{(1-z)^2} = \frac{1}{z} + \sum_{n=0}^{\infty} z^n + \sum_{n=1}^{\infty} nz^{n-1}
\]
che con un minimo di rimaneggiamenti diventa
\[
\frac{1}{z} + \frac{1}{1-z}+\frac{1}{(1-z)^2} = \frac{1}{z} + \sum_{n=0}^{\infty} z^n + \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)z^{n}
\]
Aguzziamo la vista e l'ingegno e tiriamo dentro la somma anche il termine $1/z$. In definitiva, se $|z|<1$ abbiamo che
\[
f(z) = \sum_{n=-1}^{\infty} a_n z^n
\]
dove si è posto $a_n : = n+2$.
Oss. La serie comincia con il termine di esponente $-1$: come congetturato, $z=0$ è dunque una singolarità polare del primo ordine e il residuo vale $a_{-1} = -1+2 = 1$.
Supponiamo ora $|z|>1$. L'idea chiave è notare che in questo caso sarà $|1/z|<1$. Allora,
\[
\frac{1}{z} + \frac{1}{1-z}+\frac{1}{(1-z)^2} = \frac{1}{z} + \frac{1}{-z(1-1/z)}+\frac{1}{z^2(1-1/z)^2}
\]
Il secondo addendo è una semplice geometrica in $1/z$ (moltiplicata per $-1/z$); per l'ultimo serve di nuovo l'idea della derivazione. Notiamo che la derivata di $1/(1-1/z)$ è proprio $1/(z^2(1-1/z)^2)$. Ma allora siamo a posto: se $|z|>1$
\[
\frac{1}{z} + \frac{1}{1-z}+\frac{1}{(1-z)^2} = \frac{1}{z} + \sum_{n=0}^{\infty} z^{-n} + \sum_{n=1}^{\infty} -nz^{-n-1}
\]
da cui, con ovvi trucchi, si ricava lo sviluppo $sum_{m=2}^{\infty}mz^{-m}$, valido all'esterno di $z=1$.
Oss e domanda conclusiva. L'ultimo sviluppo ricavato "serve" a qualcosa? Capisco che la domanda è mal posta ma mi chiedo: che informazioni ci dà (ammesso che ce ne dia) tale sviluppo?
P.S. Sono abbastanza stanco, dunque potrei aver sbagliato un po' di conti. Se qualcuno per caso avesse voglia di controllare, la cosa risulterebbe ovviamente molto gradita. Grazie!
Grazie per la spiegazione puntigliosa e completa
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