Dubbio su stime asintotiche
Ciao a tutti!!!
Ho un dubbio, è corretto affermare per $x->+infty$ che $3x+1$ è asintoticamente equivalente a $3x$ e che $e^(1/(x-1))$ è asintoticamente equivalente a $e^(1/x)$
Grazie mille in anticipo...
Ho un dubbio, è corretto affermare per $x->+infty$ che $3x+1$ è asintoticamente equivalente a $3x$ e che $e^(1/(x-1))$ è asintoticamente equivalente a $e^(1/x)$
Grazie mille in anticipo...
Risposte
Direi proprio di si. Lo puoi verificare mettendo semplicemente in evidenza la x in entrambe le situazioni.
Infatti era proprio così che avevo ragionato, ma allora perché se faccio
$lim_(x->+infty) (3x+1)e^(1/(x-1))-3x$ come risultato mi esce (correttamente) $4$
mentre se faccio $lim_(x->+infty)(3x)e^(1/x)-3x$ come risultato mi esce $3$ (che è sbagliato)?
Sembra quasi che togliere quel $+1$ sia sbagliato, probabilmente mi sfugge qualcosa.
$lim_(x->+infty) (3x+1)e^(1/(x-1))-3x$ come risultato mi esce (correttamente) $4$
mentre se faccio $lim_(x->+infty)(3x)e^(1/x)-3x$ come risultato mi esce $3$ (che è sbagliato)?
Sembra quasi che togliere quel $+1$ sia sbagliato, probabilmente mi sfugge qualcosa.
Perché in realtà:
[tex]$e^{1/(x-1)}\sim 1+\frac{1}{x-1}$[/tex] se $x\to+\infty$
in quanto [tex]$e^t\sim 1+t$[/tex] per $t\to 0$.
EDIT: viene scritto meno, ma dovrebbe esserci il simbolo di equivalenti.
[tex]$e^{1/(x-1)}\sim 1+\frac{1}{x-1}$[/tex] se $x\to+\infty$
in quanto [tex]$e^t\sim 1+t$[/tex] per $t\to 0$.
EDIT: viene scritto meno, ma dovrebbe esserci il simbolo di equivalenti.
Infatti era proprio così che avevo ragionato, ma allora perché se faccio
$lim_(x->+infty) (3x+1)e^(1/(x-1))-3x$ come risultato mi esce (correttamente) $4$
mentre se faccio $lim_(x->+infty)(3x)e^(1/x)-3x$ come risultato mi esce $3$ (che è sbagliato)?
Sembra quasi che togliere quel $+1$ sia sbagliato, probabilmente mi sfugge qualcosa.
$lim_(x->+infty) (3x+1)e^(1/(x-1))-3x$ come risultato mi esce (correttamente) $4$
mentre se faccio $lim_(x->+infty)(3x)e^(1/x)-3x$ come risultato mi esce $3$ (che è sbagliato)?
Sembra quasi che togliere quel $+1$ sia sbagliato, probabilmente mi sfugge qualcosa.
Scusate il doppio post, problemi di connessione.
Quindi $e^(1/(x-1))$ è asintoticamente equivalente a $1 + 1/(x-1)$ per $x->+infty$ era qui che sbagliavo?
Quindi $e^(1/(x-1))$ è asintoticamente equivalente a $1 + 1/(x-1)$ per $x->+infty$ era qui che sbagliavo?
Esatto: non puoi scordarti della $e$.
capito, però ho provato a risolvere in questo modo:
$3x(1+1/(x-1))-3x$ e il risultato è sempre 3 che è errato.
$3x(1+1/(x-1))-3x$ e il risultato è sempre 3 che è errato.
Non devi eliminare l'1 in $3x+1$, altrimenti cancelli degli infinitesimi.
ok... lasciando l'1 tutto torna, ma quindi è errato dire che $3x+1$ è asintoticamente equivalente a $3x$ ? 
Non sarebbe errato, se fosse da sola! Lì il problema è il prodotto delle due funzioni: da un punto di vista di sviluppi (e di confronti asintotici) infatti devi tenere conto di tutti i termini nel prodotto. Del resto puoi scrivere la funzione come
[tex]$3x\left(e^{1/(x-1)}-1\right)+e^{1/(x-1)}\sim 3x\cdot\frac{1}{x-1}+1+\frac{1}{x-1}$[/tex]
da cui, come vedi, compare un $+1$ che è necessario.
[tex]$3x\left(e^{1/(x-1)}-1\right)+e^{1/(x-1)}\sim 3x\cdot\frac{1}{x-1}+1+\frac{1}{x-1}$[/tex]
da cui, come vedi, compare un $+1$ che è necessario.
Grazie mille per il tempo che mi stai dedicando.
Quindi se ho ben capito il problema è il prodotto se invece ci fosse stata un'addizione sarebbe stato tutto corretto...
Grazie mille ancora...
Quindi se ho ben capito il problema è il prodotto se invece ci fosse stata un'addizione sarebbe stato tutto corretto...
Grazie mille ancora...
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