Dubbio su spazi di Hilbert
Mi chiedo se le funzioni indefinitamente derivabili (cioè $C^\infty$) tali che per $x\to+\infty$ tendono, assieme alle loro derivate, a 0 più velocemente di ogni potenza inversa di $|x|$ siano un sottoinsieme proprio di $L^2$.
Risposte
Sono in $L^2$:lo vedi facilmente proprio grazie alla loro decrescenza rapida, in soldoni basta che le maggiori con un polinomio in $L^2$ a tuo piacimento. Guarda qua per tutte le proprietà principali:
http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Schwartz
Paola
http://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_di_Schwartz
Paola
Che le funzioni citate formino un sottospazio proprio segue immediatamente dal fatto che esistono funzioni \(f\in L^2(\mathbb{R}^N)\) che hanno \(\limsup_{|x|\to \infty} f(x)=+\infty\).
Ad esempio, in dimesione \(N=1\) la funzione:
\[
f(x):=\sum_{n=-\infty}^\infty |n|\ \chi_{I_n}(x)
\]
(ove \(I_n:= ]n-2^{-|n|-2}, n+2^{-|n|-2}[\) e \(\chi_{I_n}(x)\) è la funzione caratteristica di tale intervallo) è in \(L^2\) in quanto:
\[
\int_{-\infty}^\infty f^2(x)\ \text{d} x = \sum_{n=-\infty}^\infty n^2\ \operatorname{m}(I_n) =\sum_{n=-\infty}^\infty n^2\ 2\ 2^{-|n|-2} = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{n^2}{2^{|n|+1}} <+\infty
\]
ed ha evidentemente:
\[
\limsup_{|x|\to +\infty} f(x)=+\infty\; .
\]
Ad esempio, in dimesione \(N=1\) la funzione:
\[
f(x):=\sum_{n=-\infty}^\infty |n|\ \chi_{I_n}(x)
\]
(ove \(I_n:= ]n-2^{-|n|-2}, n+2^{-|n|-2}[\) e \(\chi_{I_n}(x)\) è la funzione caratteristica di tale intervallo) è in \(L^2\) in quanto:
\[
\int_{-\infty}^\infty f^2(x)\ \text{d} x = \sum_{n=-\infty}^\infty n^2\ \operatorname{m}(I_n) =\sum_{n=-\infty}^\infty n^2\ 2\ 2^{-|n|-2} = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{n^2}{2^{|n|+1}} <+\infty
\]
ed ha evidentemente:
\[
\limsup_{|x|\to +\infty} f(x)=+\infty\; .
\]
grazie delle risposte!
Questo esempio mi ha davvero stupito, quando ho letto la domanda la prima cosa che ho pensato è stata "no, è impossibile che esista una funzione in L^2 che tenda a infinito, basti pensare che per le SERIE il limite a zero è condizione necessaria per la convergenza"
riflettendo sull esempio di gugo capisco dove avevo sbagliato, ovvero sul presupposto che in L^2 cmabia la misura, e lavorando sulla misura dell insieme posso far tendere la funzione ad infinito in modo tale che anche se il valore aumenta "peserà sempre meno" nei contributi del mio integrale, e questo grazie all insieme che si rimpicciolisce sempre più..
questo d altronde è il meccanismo per cui è possibile creare funzioni che tendono alla funzione nulla quasi ovunque ma non in L^2..
vabbè scusate questo delirio che non pone alcuna domanda, ma era per chiarirmi le idee.
riflettendo sull esempio di gugo capisco dove avevo sbagliato, ovvero sul presupposto che in L^2 cmabia la misura, e lavorando sulla misura dell insieme posso far tendere la funzione ad infinito in modo tale che anche se il valore aumenta "peserà sempre meno" nei contributi del mio integrale, e questo grazie all insieme che si rimpicciolisce sempre più..
questo d altronde è il meccanismo per cui è possibile creare funzioni che tendono alla funzione nulla quasi ovunque ma non in L^2..
vabbè scusate questo delirio che non pone alcuna domanda, ma era per chiarirmi le idee.
@ Daniele: Esatto. L'idea è proprio quella.
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