Dubbio su soluzione costante come soluzione di un problema di Cauchy
Salve a tutti.
Ho un piccolo dubbio sul seguente problema di Cauchy:
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{cases} y'=x\frac{y^2}{4+y^2} \\ y(0)=0 \end{cases} \)
Dove l'equazione è a variabili separabili, ma prima di tutto noto che la soluzione costante \( y(x)=0,\ \forall x \in R \) è soluzione del problema.
Ciò che ho pensato io è: avendo già trovato una soluzione (costante sì, ma sempre soluzione è), sarà sufficiente vedere se sono soddisfatte le condizioni del teorema di esistenza ed unicità ed in caso affermativo, non sara necessario nemmeno trovare l'integrale generale ma l'esercizio si conclude affermando che la soluzione costante è anche la unica soluzione del problema in esame.
Detto questo sono andato a vedere appunto se le condizioni erano soddisfatte:
Si nota che il dominio di \( f(x,y)=x\frac{y^2}{4+y^2} \) è \( D = \{ (x,y) \in R^2 \ \ tali \ che \ \ y \not= \pm 2 \} \) .
In particolare \(D\) è un insieme sconnesso in quanto unione di aperti disgiunti, cioè \( D = D_1 \cup D_2 \cup D_3 \) , dove \( D_1,D_2,D_3 \) sono tre insiemi aperti connessi.
La condizione iniziale individua uno dei 3 insiemi, quale dei 3 è evidente se si guarda sul piano come è fatto \(D\), diciamo che l'insieme su cui si lavora è \(D_2\).
La prima condizione di continuità di \(f\) nell'insieme \(D_2\) è soddisfatta chiaramente.
La seconda di Lipschitzianeità si trova grazie alla condizione sufficiente per la Lipschitzianeità di una funzione nell'intorno del punto e cioè che \(\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \) sia continua in \( (0,0) \).
Condizione che secondo i miei calcoli è soddisfatta, infatti :
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=x\frac{-2y^3+8y}{(y^2+4)^2} \)
Che è continua nel punto \( (0,0) \).
Quindi la soluzione esiste ed è unica, ed è per forza quella costante \( y(x)=0,\ \forall x \in R \) .
Questo era il mio ragionamento e vorrei sapere se è quello giusto.
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Ho un piccolo dubbio sul seguente problema di Cauchy:
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{cases} y'=x\frac{y^2}{4+y^2} \\ y(0)=0 \end{cases} \)
Dove l'equazione è a variabili separabili, ma prima di tutto noto che la soluzione costante \( y(x)=0,\ \forall x \in R \) è soluzione del problema.
Ciò che ho pensato io è: avendo già trovato una soluzione (costante sì, ma sempre soluzione è), sarà sufficiente vedere se sono soddisfatte le condizioni del teorema di esistenza ed unicità ed in caso affermativo, non sara necessario nemmeno trovare l'integrale generale ma l'esercizio si conclude affermando che la soluzione costante è anche la unica soluzione del problema in esame.
Detto questo sono andato a vedere appunto se le condizioni erano soddisfatte:
Si nota che il dominio di \( f(x,y)=x\frac{y^2}{4+y^2} \) è \( D = \{ (x,y) \in R^2 \ \ tali \ che \ \ y \not= \pm 2 \} \) .
In particolare \(D\) è un insieme sconnesso in quanto unione di aperti disgiunti, cioè \( D = D_1 \cup D_2 \cup D_3 \) , dove \( D_1,D_2,D_3 \) sono tre insiemi aperti connessi.
La condizione iniziale individua uno dei 3 insiemi, quale dei 3 è evidente se si guarda sul piano come è fatto \(D\), diciamo che l'insieme su cui si lavora è \(D_2\).
La prima condizione di continuità di \(f\) nell'insieme \(D_2\) è soddisfatta chiaramente.
La seconda di Lipschitzianeità si trova grazie alla condizione sufficiente per la Lipschitzianeità di una funzione nell'intorno del punto e cioè che \(\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) \) sia continua in \( (0,0) \).
Condizione che secondo i miei calcoli è soddisfatta, infatti :
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=x\frac{-2y^3+8y}{(y^2+4)^2} \)
Che è continua nel punto \( (0,0) \).
Quindi la soluzione esiste ed è unica, ed è per forza quella costante \( y(x)=0,\ \forall x \in R \) .
Questo era il mio ragionamento e vorrei sapere se è quello giusto.
Grazie in anticipo a chi risponderà.
Risposte
Nota che : $4+y^2 ne 0 ,AA y in RR $
Oddio che sbadato, grazie mille per la risposta velocissima
"Camillo":
Nota che : $4+y^2 ne 0 ,AA y in RR $
Dunque il dominio è $RR^2$, e le condizioni del teorema di esistenza ed unicità sono a maggior ragione soddisfatte.
Posso comunque concludere che l'unica soluzione al problema è quella costante \( y(x)=0,\ \ \forall x \in \) $RR$, no ?
"andreap7":
Posso comunque concludere che l'unica soluzione al problema è quella costante y(x)=0, ∀x∈ R ?
sì
"quantunquemente":
[quote="andreap7"]Posso comunque concludere che l'unica soluzione al problema è quella costante y(x)=0, ∀x∈ R ?
sì[/quote]
Perfetto, questo volevo sapere.
Grazie mille!
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