Dubbio su sinx=(x-0)(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)(x-3π)(x+3π)...
Salve, mi servirebbe capire perché, posto
sinx=0 per x=0; x=+/-π; x=+/-2π; x=+/-3π ecc.
è possibile scrivere che
sinx= (x-0)(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)(x-3π)(x+3π)...????
Da cui
Sinx/x= (x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)(x-3π)(x+3π)...
Sinx/x=(x^2-π^2)(x^2-4π^2)(x^2-9π^2)...
Sinx/x= - π^2 (-x^2+1) (-4π^2)(- x^2/4π^2+1) (-9π^2)(-x^2/9π^2+1)...
Sinx/x= [(-π^2)(-4π^2)(-9π^2)...] [-x^2+1) (- x^2/4π^2+1) (-x^2/9π^2+1)...]
Sinx/x= A [-x^2+1) (- x^2/4π^2+1) (-x^2/9π^2+1)...]
Per x->0,
Sinx/x= A [0+1) (0+1) (0+1)...]
Sinx/x= A [1*1*1...]
Ma per x->0, Sinx/x= 1 quindi A=1???
Ma io non capisco come [(-π^2)(-4π^2)(-9π^2)...] possa essere uguale ad 1...
Grazie in Anticipo. Buona giornata.
sinx=0 per x=0; x=+/-π; x=+/-2π; x=+/-3π ecc.
è possibile scrivere che
sinx= (x-0)(x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)(x-3π)(x+3π)...????
Da cui
Sinx/x= (x-π)(x+π)(x-2π)(x+2π)(x-3π)(x+3π)...
Sinx/x=(x^2-π^2)(x^2-4π^2)(x^2-9π^2)...
Sinx/x= - π^2 (-x^2+1) (-4π^2)(- x^2/4π^2+1) (-9π^2)(-x^2/9π^2+1)...
Sinx/x= [(-π^2)(-4π^2)(-9π^2)...] [-x^2+1) (- x^2/4π^2+1) (-x^2/9π^2+1)...]
Sinx/x= A [-x^2+1) (- x^2/4π^2+1) (-x^2/9π^2+1)...]
Per x->0,
Sinx/x= A [0+1) (0+1) (0+1)...]
Sinx/x= A [1*1*1...]
Ma per x->0, Sinx/x= 1 quindi A=1???
Ma io non capisco come [(-π^2)(-4π^2)(-9π^2)...] possa essere uguale ad 1...
Grazie in Anticipo. Buona giornata.
Risposte
Kathe, sarebbe d'uopo formattare la matematica.
[xdom="Raptorista"]
Concordo![/xdom]
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
"edmz":
Kathe, sarebbe d'uopo formattare la matematica.
Concordo![/xdom]
[xdom="Raptorista"]Sposto da Analisi superiore.[/xdom]
Quella è una formula di Eulero, vedi un po' se qui trovi del materiale utile:
https://math.stackexchange.com/q/674769/8157
Concordo sul fatto che con le formule scritte così non si capisce quasi niente.
https://math.stackexchange.com/q/674769/8157
Concordo sul fatto che con le formule scritte così non si capisce quasi niente.
Ciao Kathe,
Infatti non lo è...
Questa invece è proprio errata.
Facendo qualche indagine a partire da ciò che ha scritto dissonance, direi che ciò che fa al caso tuo lo puoi trovare qui: https://math.stackexchange.com/questions/2796722/why-cant-we-write-sin-x-as-prod-n-0-infty-leftx2-n2-pi2-right
Concordo poi con tutti coloro che mi hanno preceduto in merito alla necessità di scrivere correttamente le formule come prescritto dal regolamento e come puoi trovare qui, altrimenti diventano praticamente illeggibili, specie se non sono proprio semplicissime come nel caso in esame...
"Kathe":
Ma io non capisco come [(-π^2)(-4π^2)(-9π^2)...] possa essere uguale ad 1...
Infatti non lo è...
"Kathe":
Sinx/x= - π^2 (-x^2+1) (-4π^2)(- x^2/4π^2+1) (-9π^2)(-x^2/9π^2+1)...
Questa invece è proprio errata.
Facendo qualche indagine a partire da ciò che ha scritto dissonance, direi che ciò che fa al caso tuo lo puoi trovare qui: https://math.stackexchange.com/questions/2796722/why-cant-we-write-sin-x-as-prod-n-0-infty-leftx2-n2-pi2-right
Concordo poi con tutti coloro che mi hanno preceduto in merito alla necessità di scrivere correttamente le formule come prescritto dal regolamento e come puoi trovare qui, altrimenti diventano praticamente illeggibili, specie se non sono proprio semplicissime come nel caso in esame...
Grazie a tutti voi, ora mi è più chiaro, ma mi rimane un ultimo e piccolissimo dubbio.Ho capito grazie a link inviatomi da "Dissonance" che la funzione seno è stata scritta in forma polinomiale e che si è applicato il teorema di Weierstrass secondo cui $ P(z)=a(z-z_{1})\cdots (z-z_{n}) $. Nel mio caso a=A e $ z_{n} $ sono le radici per le quali senx=0. Grazie a "Pilloeffe" (che mi ha aiutato anche la volta scorsa e gliene sono grata) ho capito in dettaglio che $ \frac{sinx}{x}=\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})
=\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n\pi})\cdot(1+\frac{x}{n\pi}) $
L'unica cosa che non capisco è che fine faccia la costante "A". In accordo con Weierstrass dovrei avere
$ \frac{sinx}{x}=A\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})
=A\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n\pi})\cdot(1+\frac{x}{n\pi}) $
Ho capito che $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=A\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{0}{n\pi})\cdot(1+\frac{0}{n\pi})=A\prod_{n=1}^{\infty}(1-\0)\cdot(1+\0)=A\prod_{n=1}^{\infty}(1)\cdot(1)=A$
$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1=A$ allora A=1 e quindi è come "scomparisse", perché moltiplicare un polinomio per 1 è "inutile". Però siccome va dimostrato solo successivamente che A=1, vorrei capire come farla comparire a partire dalle dimostrazioni che mi avete linkato. Ho notato che li si fa riferimento ad una costante c, ma tale costante non è la mia A perché $ c=\prod_{n=1}^{N}(-n^2\pi ^2)^-1 $. Esiste un modo per far apparire questa costante A? Grazie in anticipo!
Ps, Avete ragione sul fatto che il messaggio era poco chiaro a causa della scrittura delle formule
. Questa volta ho provato ad usare "aggiungi formula" e sembra che ci sia riuscita 
.
=\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n\pi})\cdot(1+\frac{x}{n\pi}) $
L'unica cosa che non capisco è che fine faccia la costante "A". In accordo con Weierstrass dovrei avere
$ \frac{sinx}{x}=A\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x^2}{n^2\pi^2})
=A\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x}{n\pi})\cdot(1+\frac{x}{n\pi}) $
Ho capito che $ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=A\prod_{n=1}^{\infty}(1-\frac{0}{n\pi})\cdot(1+\frac{0}{n\pi})=A\prod_{n=1}^{\infty}(1-\0)\cdot(1+\0)=A\prod_{n=1}^{\infty}(1)\cdot(1)=A$
$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx}{x}=1=A$ allora A=1 e quindi è come "scomparisse", perché moltiplicare un polinomio per 1 è "inutile". Però siccome va dimostrato solo successivamente che A=1, vorrei capire come farla comparire a partire dalle dimostrazioni che mi avete linkato. Ho notato che li si fa riferimento ad una costante c, ma tale costante non è la mia A perché $ c=\prod_{n=1}^{N}(-n^2\pi ^2)^-1 $. Esiste un modo per far apparire questa costante A? Grazie in anticipo!
Ps, Avete ragione sul fatto che il messaggio era poco chiaro a causa della scrittura delle formule
. Questa volta ho provato ad usare "aggiungi formula" e sembra che ci sia riuscita .
"Kathe":
Ho notato che li si fa riferimento ad una costante c, ma tale costante non è la mia A
In realtà sì... E' una costante nel senso che non dipende da $x$, ma dipende da $N$
Attenzione perché hai scritto un po' di cose errate, la funzione $sin x $ non è un polinomio.
Dai un'occhiata anche qui:
https://math.stackexchange.com/questions/1844503/can-sinx-be-written-as-the-product-of-its-infinite-roots-0-pi-pi-a?rq=1
Ciao, nel link c'e scritto che
$ sin(x)=Ax(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x−3\pi)(x+3\pi) $
E derivando rispetto ad x
$ cos(x)=A(-\pi)(\pi)(-2\pi)(2\pi)(-3\pi)(3\pi) $
Anche se ho provato a svolgerla la derivata di questo prodotto per esteso e non mi trovo. Potreste aiutarmi a capire questo passaggio?
Per $ x=0 -> cos(0)=1-> A(-\pi)(\pi)(-2\pi)(2\pi)(-3\pi)(3\pi)=1-> A=1/[(-\pi)(\pi)(-2\pi)(2\pi)(-3\pi)(3\pi)= 1/[(-\pi^2)(-4\pi^2)(-9\pi^2)] $
Quindi $Ane1$ . In tal caso, come è possibile che valga contemporaneamente l'uguaglianza
$sin(x)=x(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x−3\pi)(x+3\pi)$
e
$sin(x)=Ax(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x−3\pi)(x+3\pi)?$
Capisco che "c" è una costante proprio perchè non dipende da x ma da N. Nemmeno A dipende da x, e quindi è costante, ma quindi c(N) =A (N)? Del resto
$ c=\prod_{n=1}^{N}(-n^2\pi ^2)^-1 = 1/[(-\pi^2)(-4\pi^2)(-9\pi^2)] =A. $
Scusami per le tante domande ma sto entrando nel pallone!
$ sin(x)=Ax(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x−3\pi)(x+3\pi) $
E derivando rispetto ad x
$ cos(x)=A(-\pi)(\pi)(-2\pi)(2\pi)(-3\pi)(3\pi) $
Anche se ho provato a svolgerla la derivata di questo prodotto per esteso e non mi trovo. Potreste aiutarmi a capire questo passaggio?
Per $ x=0 -> cos(0)=1-> A(-\pi)(\pi)(-2\pi)(2\pi)(-3\pi)(3\pi)=1-> A=1/[(-\pi)(\pi)(-2\pi)(2\pi)(-3\pi)(3\pi)= 1/[(-\pi^2)(-4\pi^2)(-9\pi^2)] $
Quindi $Ane1$ . In tal caso, come è possibile che valga contemporaneamente l'uguaglianza
$sin(x)=x(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x−3\pi)(x+3\pi)$
e
$sin(x)=Ax(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x−3\pi)(x+3\pi)?$
Capisco che "c" è una costante proprio perchè non dipende da x ma da N. Nemmeno A dipende da x, e quindi è costante, ma quindi c(N) =A (N)? Del resto
$ c=\prod_{n=1}^{N}(-n^2\pi ^2)^-1 = 1/[(-\pi^2)(-4\pi^2)(-9\pi^2)] =A. $
Scusami per le tante domande ma sto entrando nel pallone!
"Kathe":
ma quindi c(N) = A (N)?
Sì. D'altronde se ci fai caso hanno la stessa espressione...
Sì, ho notato che le due scritture sono equivalenti, infatti ho scritto che c=A e ho riportato le relative formule, ma non capisco perché questa produttoria possa dirsi uguale ad 1. Inoltre, l'ultimo dubbio che mi resta è come svolgere la derivata, in funzione di x, di senx per ricavare A.
$ sin(x)=Ax(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x−3\pi)(x+3\pi) $
Non capisco che procedimento è stato fatto per passare da questa equazione a questa
$ cos(0)=A(-\pi)(\pi)(-2\pi)(2\pi)(−3\pi)(3\pi) $
Se provo a svolgere la derivata del prodotto non mi viene
Help!!
$ sin(x)=Ax(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x−3\pi)(x+3\pi) $
Non capisco che procedimento è stato fatto per passare da questa equazione a questa
$ cos(0)=A(-\pi)(\pi)(-2\pi)(2\pi)(−3\pi)(3\pi) $
Se provo a svolgere la derivata del prodotto non mi viene
Help!!
"Kathe":
ma non capisco perché questa produttoria possa dirsi uguale ad 1
Il che è comprensibile, perché infatti non è uguale a $1$...
Occhio che nel link proposto non c'è scritto proprio ciò che hai riportato, provo a riscriverti la questione con le tue notazioni ed il tuo procedimento iniziale. Dato che $sin x $ non è un polinomio, non si può scrivere come hai scritto, ma si può scrivere:
$ sin x = \lim_{N \to +\infty} A x \prod_{n = 1}^{N} (x^2 - n^2 \pi^2) $
ove $A$ è una costante (rispetto a $x$, ma come risulterà a breve dipenderà da $N$) da determinarsi. Il modo più semplice per determinarla è ricordarsi del limite notevole $\lim_{x \to 0} sinx/x = 1 \implies 1 = A \cdot \prod_{n = 1}^{N} ( - n^2 \pi^2) \implies A = A_N = \frac{1}{\prod_{n = 1}^{N} ( - n^2 \pi^2)} = \prod_{n = 1}^{N} 1/( - n^2 \pi^2)$
Sostituendo l'espressione di $A$ ottenuta in quella di $sin x $ precedente si ha:
$ sin x = x \lim_{N \to +\infty} \frac{\prod_{n = 1}^{N} (x^2 - n^2 \pi^2)}{\prod_{n = 1}^{N} ( - n^2 \pi^2)} = x \lim_{N \to +\infty} \prod_{n = 1}^{N} (1 - x^2/(n^2 \pi^2)) = x \prod_{n = 1}^{+\infty} (1 - x^2/(n^2 \pi^2)) $
Forse ho capito!
$ D[[sen(x)]/x]={xcos(x)-sen(x)}/x^2$
$-> cos(x)= xD[[sen(x)]/x]+[sen(x)]/x$
$-> cos(x)= xD[[sen(x)]/x]+ c\prod_{n=1}^{N}x^2-n^2\pi^2$
$->\lim_{x\to 0} cos(x) = \lim_{x\to 0}xD[[sen(x)]/x]+\lim_{x\to0}[sen(x)]/ x$
Ma
$\lim_{x\to 0}xD[[sen(x)]/x]=0$
Quindi
$->\lim_{x\to 0} cos(x) = \lim_{x\to 0} [sen (x)]/x=1=\lim_{N\to\infty }c\prod_{n=1}^{N}-n^2\pi^2
$
Pertanto
$ c=1/[\prod_{n=1}^{N}(-n^2\pi^2)]=\prod_{n=1}^{N}(-n^2\pi^2)^-1 $
Inoltre vogliamo dimostrare che
$ c\prod_{n=1}^{\infty}(x^2-n^2\pi^2)=A\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^2/(n^2\pi^2))$
$->\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^2/(n^2\pi^2))=\prod_{n=1}^{\infty}((x^2-n^2\pi^2)/(-n^2\pi^2))$
$-> A=c\prod_{n=1}^{\infty}[(x^2-n^2\pi^2)/(x^2-n^2\pi^2)(-n^2\pi^2)]$
$->A=c\prod_{n=1}^{\infty}(-n^2\pi^2)$
$->A=\prod_{n=1}^{\infty}(-n^2\pi^2)^-1\prod_{n=1}^{\infty}(-n^2\pi^2)=1 $
Credo che il procedimento sia corretto..Lo spero almeno...Ma se ci sono errori ditemelo per cortesia. Ho postato il procedimento sperando possa ritornar utile a qualcun altro.
Grazie ancora di tutto.
$ D[[sen(x)]/x]={xcos(x)-sen(x)}/x^2$
$-> cos(x)= xD[[sen(x)]/x]+[sen(x)]/x$
$-> cos(x)= xD[[sen(x)]/x]+ c\prod_{n=1}^{N}x^2-n^2\pi^2$
$->\lim_{x\to 0} cos(x) = \lim_{x\to 0}xD[[sen(x)]/x]+\lim_{x\to0}[sen(x)]/ x$
Ma
$\lim_{x\to 0}xD[[sen(x)]/x]=0$
Quindi
$->\lim_{x\to 0} cos(x) = \lim_{x\to 0} [sen (x)]/x=1=\lim_{N\to\infty }c\prod_{n=1}^{N}-n^2\pi^2
$
Pertanto
$ c=1/[\prod_{n=1}^{N}(-n^2\pi^2)]=\prod_{n=1}^{N}(-n^2\pi^2)^-1 $
Inoltre vogliamo dimostrare che
$ c\prod_{n=1}^{\infty}(x^2-n^2\pi^2)=A\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^2/(n^2\pi^2))$
$->\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^2/(n^2\pi^2))=\prod_{n=1}^{\infty}((x^2-n^2\pi^2)/(-n^2\pi^2))$
$-> A=c\prod_{n=1}^{\infty}[(x^2-n^2\pi^2)/(x^2-n^2\pi^2)(-n^2\pi^2)]$
$->A=c\prod_{n=1}^{\infty}(-n^2\pi^2)$
$->A=\prod_{n=1}^{\infty}(-n^2\pi^2)^-1\prod_{n=1}^{\infty}(-n^2\pi^2)=1 $
Credo che il procedimento sia corretto..Lo spero almeno...Ma se ci sono errori ditemelo per cortesia. Ho postato il procedimento sperando possa ritornar utile a qualcun altro.
Grazie ancora di tutto.
Tutto chiaro!!! Grazie mille Pillofe!!! Come dicevo ho provato a ragionarci su ma, visto la complessità dell'argomento (almeno per me XD) avevo dubbi inerenti proprio alla correttezza del procedimento. Grazie per avermi fatto comprendere gli errori effettuati. Sei sempre genitilissimo ed esaustivo 
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