Dubbio su serie geometrica
Mi sono imbattuto in questa serie di cui mi viene chiesto di studiare il carattere al variare di \(\displaystyle x \in \mathbb{R} \).
\( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (log(\sqrt{2x-1}-x))^n \)
Il problema è che la funzione non è definita in \(\displaystyle \mathbb{R} \), infatti è facile verificare che il dominio di\(\displaystyle f(x)=log(\sqrt{2x-1}-x) \) è:
\(\displaystyle D_{f(x)}=(2x-1 \ge 0 \cap \sqrt{2x-1}-x>0) = (x\ge \frac{1}{2} \cap \varnothing) = (\varnothing)\)
Domanda: Quindi siccome la \(\displaystyle f(x) \) non esiste in \(\displaystyle \mathbb{R} \) , dovrei concludere l'esercizio semplicemente dicendo che non ha senso studiare il carattere della serie in \(\displaystyle \mathbb{R} \) in quanto non esistendo la funzione non esiste la serie geometrica ad essa associata?
\( \displaystyle \sum_{n=0}^\infty (log(\sqrt{2x-1}-x))^n \)
Il problema è che la funzione non è definita in \(\displaystyle \mathbb{R} \), infatti è facile verificare che il dominio di\(\displaystyle f(x)=log(\sqrt{2x-1}-x) \) è:
\(\displaystyle D_{f(x)}=(2x-1 \ge 0 \cap \sqrt{2x-1}-x>0) = (x\ge \frac{1}{2} \cap \varnothing) = (\varnothing)\)
Domanda: Quindi siccome la \(\displaystyle f(x) \) non esiste in \(\displaystyle \mathbb{R} \) , dovrei concludere l'esercizio semplicemente dicendo che non ha senso studiare il carattere della serie in \(\displaystyle \mathbb{R} \) in quanto non esistendo la funzione non esiste la serie geometrica ad essa associata?
Risposte
Ragiona: ti viene chiesto, studia la serie con $x\in RR$. Calcoli il dominio è scopri che non è tutto $RR$. Quindi devi studiarela serie solo per le $x$ nel dominio.
"ciampax":
Ragiona: ti viene chiesto, studia la serie con $x\in RR$. Calcoli il dominio è scopri che non è tutto $RR$. Quindi devi studiarela serie solo per le $x$ nel dominio.
Ho calcolato il dominio di \(\displaystyle f(x) \) e ho visto che è \(\displaystyle D_{f(x)}=\varnothing \), quindi seguendo il tuo ragionamento devo studiare la serie in \(\displaystyle \varnothing \), il che equivale a dire che non devo studiare affatto il carattere della serie.
Quindi l'esercizio è concluso ancor prima che lo inizii (il che mi sembra strano dato che è una traccia d'esame)?? Fermami se sto dicendo stupidaggini
Certo che è concluso: se il dominio è l'insieme vuoto, cos'altro vuoi fare? E ti assicuro che non è affatto strano.
"ciampax":
Certo che è concluso: se il dominio è l'insieme vuoto, cos'altro vuoi fare? E ti assicuro che non è affatto strano.
Capito, grazie
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