Dubbio su serie di taylor
Leggendo su alcuni testi di analisi matematica ho letto che una funzione può non coincidere con la sua serie di taylor , solo le funzioni dette analitiche coincidono con la loro serie di taylor;
ora da quello che ho potuto capire, se ho una funzione che ha un espressione polinomiale anche infinita , quindi indefinitivamente derivabile in $R$, purchè convergente per ogni $x$, può essere rappresentata dal suo polinomio di
taylor ed i coefficienti della funzione polinomiale data sarranno legati alle derivate successive dalla seguente legge $a_i=(f^i(0))/(i!)$,
quello che non mi é ancora del tutto chiaro è che di alcune funzioni elementari ma non polinomiali tipo quelle trigonometriche
come $sinx$ , viene asserito che esse sono sviluppabili secondo taylor , infatti come nel caso della funzione $sinx$ conosciamo tutte le derivate successive relative al punto $x=0$, quindi possiamo costruire la serie $x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!).....$, ma chi mi dice che tale serie di potenze in definitiva coincide effettivamente con la funzione $sinx$ in tutto $R$ ? potrebbe benissimo non esserlo, cioè essere una funzione non analitica;
non so se la domanda è ben posta e se ha un significato, comunque questo è un dubbio che mi attanaglia da tempo, per cui non riesco a comprendere a pieno l'argomento, spero in un vostro aiuto!
Saluti!
ora da quello che ho potuto capire, se ho una funzione che ha un espressione polinomiale anche infinita , quindi indefinitivamente derivabile in $R$, purchè convergente per ogni $x$, può essere rappresentata dal suo polinomio di
taylor ed i coefficienti della funzione polinomiale data sarranno legati alle derivate successive dalla seguente legge $a_i=(f^i(0))/(i!)$,
quello che non mi é ancora del tutto chiaro è che di alcune funzioni elementari ma non polinomiali tipo quelle trigonometriche
come $sinx$ , viene asserito che esse sono sviluppabili secondo taylor , infatti come nel caso della funzione $sinx$ conosciamo tutte le derivate successive relative al punto $x=0$, quindi possiamo costruire la serie $x-(x^3)/(3!)+(x^5)/(5!).....$, ma chi mi dice che tale serie di potenze in definitiva coincide effettivamente con la funzione $sinx$ in tutto $R$ ? potrebbe benissimo non esserlo, cioè essere una funzione non analitica;
non so se la domanda è ben posta e se ha un significato, comunque questo è un dubbio che mi attanaglia da tempo, per cui non riesco a comprendere a pieno l'argomento, spero in un vostro aiuto!
Saluti!
Risposte
Il fatto sostanziale è che quella serie di potenze (lo svilupo del seno), converge per tutto $RR$.
Quando farai l'analisi complessa, allora la situazione sara più chiara, perchè si vede che il raggio di convergenza è infinito, la funzione è olomorfa, eccetera.
Quando farai l'analisi complessa, allora la situazione sara più chiara, perchè si vede che il raggio di convergenza è infinito, la funzione è olomorfa, eccetera.
Grazie per la risposta , anche se essendo un autodidatta in materia non credo che avrò modo di conoscere l'analisi complessa;
Avrei bisogno di una risposta se possibile più elementare, conunque ritengo la domanda più che lecita, ho consultato il libro di analisi zwirner ed ho visto che tale domanda viene posta, la successiva spiegazione onestamente faccio fatica a recepirla,
anche se ho percepito che essenzialmente si basa sul fatto che il resto ennesimo nella forma di Mc laurin tenda a zero per $n$ tendente ad $infty$.
Cerco di spiegare meglio la mia lacuna, se $P(x)$ è una serie polinomiale o polinomio se finito, che in generale indico con
$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....a_nx^n+.....$ allora eseguendo le derivate successive avrò:
$P'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+....(n-1)a_nx^n+...$
$P''(x)=2a_2+6a_3x+......n(n-1)a_nx^(n-1)+....$ e così via,
eguagliando $x$ a zero le espressioni su indicate, ottengo:
$P(0)=a_0$
$P'(0)=a_1$
$P''(0)=2a_2$,
................
$P^n(0)=n!a_n$
e ricavando i coefficienti avrò la generica relazione $a_i=(f^i(0))/(i!)$, e fin qui non ho nessuna difficoltà , a questo punto mi viene spontanea porre la domanda , ma se ho una funzione qualsiasi $f(x)$ derivabile indefinitivamente in un intorno $I$ di zero, quindi anche in zero, con derivate $f'(0), f''(0),f'''(0),..f^n(0),...$, il polinomio $f(0)+f'(0)x+(f'(0))/2x^2+....(f^n(0))/(n!)x^n...$ viene a coincidere perlomeno nell'intorno $I$ con la funzione $f(x)$? cioè basta il fatto che una generica funzione sia indefinitivamente derivabile in un intorno contenente lo zero per dire che essa coincide con il suo polinomio di Mc laurin? assolutamente no, almeno credo;
Sicuramente il polinomio di Mc laurin dovrà convergere per ogni $x$ in tale intervallo, e dovrà convergere precisamente ad $f(x)$ per ogni $x$ $inI$, ma quali condizioni aggiuntive deve soddisfare affinchè questo succeda?
Se potresti darmi una spiegazione di questi fatti, anche per linee generali , ti sarei molto grato;
saluti!
Avrei bisogno di una risposta se possibile più elementare, conunque ritengo la domanda più che lecita, ho consultato il libro di analisi zwirner ed ho visto che tale domanda viene posta, la successiva spiegazione onestamente faccio fatica a recepirla,
anche se ho percepito che essenzialmente si basa sul fatto che il resto ennesimo nella forma di Mc laurin tenda a zero per $n$ tendente ad $infty$.
Cerco di spiegare meglio la mia lacuna, se $P(x)$ è una serie polinomiale o polinomio se finito, che in generale indico con
$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....a_nx^n+.....$ allora eseguendo le derivate successive avrò:
$P'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+....(n-1)a_nx^n+...$
$P''(x)=2a_2+6a_3x+......n(n-1)a_nx^(n-1)+....$ e così via,
eguagliando $x$ a zero le espressioni su indicate, ottengo:
$P(0)=a_0$
$P'(0)=a_1$
$P''(0)=2a_2$,
................
$P^n(0)=n!a_n$
e ricavando i coefficienti avrò la generica relazione $a_i=(f^i(0))/(i!)$, e fin qui non ho nessuna difficoltà , a questo punto mi viene spontanea porre la domanda , ma se ho una funzione qualsiasi $f(x)$ derivabile indefinitivamente in un intorno $I$ di zero, quindi anche in zero, con derivate $f'(0), f''(0),f'''(0),..f^n(0),...$, il polinomio $f(0)+f'(0)x+(f'(0))/2x^2+....(f^n(0))/(n!)x^n...$ viene a coincidere perlomeno nell'intorno $I$ con la funzione $f(x)$? cioè basta il fatto che una generica funzione sia indefinitivamente derivabile in un intorno contenente lo zero per dire che essa coincide con il suo polinomio di Mc laurin? assolutamente no, almeno credo;
Sicuramente il polinomio di Mc laurin dovrà convergere per ogni $x$ in tale intervallo, e dovrà convergere precisamente ad $f(x)$ per ogni $x$ $inI$, ma quali condizioni aggiuntive deve soddisfare affinchè questo succeda?
Se potresti darmi una spiegazione di questi fatti, anche per linee generali , ti sarei molto grato;
saluti!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo