Dubbio su serie di potenze

[Euphurio]

Il problema è la dimostrazione del seguente

Lemma
Sia [tex]|z|\le1[/tex] e $n\ge1$. Allora risulta vera la seguente disuguaglianza
[tex]\Big| 1-(1-z)e^{z+\frac{z^2}{2}+\dots+\frac{z^n}{n}} \Big|\le|z|^{n+1}.[/tex]

Riporto la prima parte della dimostrazione e mi fermo dopo il mio primo dubbio

dimostrazione
Posto [tex]E(z,n)=(1-z) e^{z+\frac{z^2}{2}+\dots+\frac{z^n}{n}}[/tex], si osserva
[tex]\[ E'(z,n)=-e^{z+\frac{z^2}{2}+\dots+\frac{z^n}{n}}+(1-z)(1+z+\dots+z^{n-1})e^{z+\frac{z^2}{2}+\dots+\frac{z^n}{n}} \]
\[ =(-1+(1-z^n))e^{z+\frac{z^2}{2}+\dots+\frac{z^n}{n}} \]
\[ =-z^n e^{z+\frac{z^2}{2}+\dots+\frac{z^n}{n}}. \][/tex]

Allora [tex]E'(z,n)=-\sum_{k=n}^{+\infty} b_k z^k[/tex] per qualche $b_k>0$ e per ogni $k\ge n$. Vi sembra un passaggio corretto? Posso sviluppare in tale maniera E'(z,n)?

[post edit] beh certo che si...ero in un momento di depressione matematica..penso di aver dimostrato il lemma!! Grazie cmq a chi leggerà questo "inutile" post

[gugo82]

Beh, l'uguaglianza [tex]$E^\prime (z;n)=-z^n\ \exp\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\ z^k\right)$[/tex] ti dice che [tex]$E^\prime (z;n)$[/tex] è intera ed ha in [tex]$0$[/tex] uno zero d'ordine [tex]$n$[/tex]... Quindi quello sviluppo è ovvio.