Dubbio su Serie di McLaurin

[devian1]

Ciao a tutti!
Scrivo per un dubbio che mi ritrovo nella serie di taylor

Devo trovare la serie di McLaurin di

$ x^2( 1 - e^(-x^2) ) $

che viene $ sum_1^\infty ((-1)^(n+1))/(n!) * x^(2n+2) $

ora quello che ho fatto io è questo

$ -x^2 = t $
$ => e^t = sum_1^\infty t^n/(n!) $
$ t = -x^2 $
$ => sum_1^\infty (-x^(2*n))/(n!) => x^2 - x^2 * sum_1^\infty (-x^(2*n))/(n!) $
$ => x^2 - sum_1^\infty (-x^(2*n)*x^2)/(n!) => x^2 - sum_1^\infty (-x^(2*n+2))/(n!) $

Ora però non so quel $ (-1)^(n+1) $ come fare a ottenerlo

Qualcuno mi puo aiutare? grazie!

[Andrea571]

"devian":Ciao a tutti!
Scrivo per un dubbio che mi ritrovo nella serie di taylor

Devo trovare la serie di McLaurin di

$ x^2( 1 - e^(-x^2) ) $

che viene $ sum_1^\infty ((-1)^(n+1))/(n!) * x^(2n+2) $

ora quello che ho fatto io è questo

$ -x^2 = t $
$ => e^t = sum_1^\infty t^n/(n!) $
$ t = -x^2 $
$ => sum_1^\infty (-x^(2*n))/(n!) => x^2 - x^2 * sum_1^\infty (-x^(2*n))/(n!) $
$ => x^2 - sum_1^\infty (-x^(2*n)*x^2)/(n!) => x^2 - sum_1^\infty (-x^(2*n+2))/(n!) $

Ora però non so quel $ (-1)^(n+1) $ come fare a ottenerlo

Qualcuno mi puo aiutare? grazie!

Non complicarti la vita:

Abbiamo $ x^2( 1 - e^(-x^2) ) $

dove $e^(-x^2)$=$\sum_{k=0}^(n) 1/(k!)*(-x^2)^k=1-x^2+x^4/2-x^6/6+o(x^7)$

Quindi: $ x^2( 1 - e^(-x^2) )=x^2(1-(1-x^2+x^4/2-x^6/6+o(x^7)))=x^2(x^2-x^4/2+x^6/6+o(x^7))=x^4-x^6/2+x^8/6+o(x^9)$

Poi, in base al grado a cui devi arrivare, semplicemente continua quella serie, io mi sono bloccato a $n=3$

[devian1]

Grazie per la tua risposta

Quindi dici di calcolare lo sviluppo fino a un certo ordine e poi dedurre la sommatoria?
Purtroppo devo arrivare alla sommatoria perchè poi devo calcolarne il raggio di convergenza