Dubbio su serie di Laurent

[n1ghtmar3]

Ciao a tutti: ho un dubbio riguardo al calcolo dello sviluppo in serie di Laurent di una funzione del tipo $ k/z $, mi spiego meglio:

utilizzando le formule, per $ |z| > 0 $

$ k sum_(n = 0)^(oo ) 0^n/z^(n+1) $

qualcosa non torna come sviluppo quindi k/z?!

Grazie in anticipo!

[maurer]

Nononononono! Aspetta un attimo. Per [tex]|z| < 0[/tex] che cosa vuoi fare???

(Mi trovi un numero [tex]z[/tex] che soddisfa [tex]|z| < 0[/tex], please?)

[n1ghtmar3]

ehm sorry vero...nella fuga ho scritto applicando le formule di getto

editato il primo post!

[maurer]

Ok, adesso va meglio.
Quindi tu vuoi sviluppare in serie di Laurent centrando in [tex]0[/tex], nella corona [tex]\mathbb C \setminus \{0\}[/tex], giusto?
Beh, ma... allora la funzione coincide con il proprio sviluppo in serie di Laurent! Cioè, nel vero senso della parola: [tex]\frac{k}{z}[/tex] è già lo sviluppo in serie di Laurent, con [tex]a_n = 0[/tex] per [tex]n \ge 0[/tex], [tex]a_{-1} = k[/tex] e [tex]a_{-n} = 0[/tex] per [tex]n > 1[/tex]!

[n1ghtmar3]

ah cavoli è vero! e se io invece volessi sviluppare ad esempio in $ |z-2i| < 2 $ ?

[maurer]

Allora in quel caso otterrai uno sviluppo di Taylor e non di Laurent (intendiamoci, con i termini negativi nulli).

Quando fai queste cose, prima trasli tutto nell'origine e poi vai di sviluppi notevoli.
Poni [tex]w = z - 2i[/tex] e poi [tex]g(w) = \frac{k}{w + 2i}[/tex]. Allora siccome [tex]|z-2i| < 2[/tex], si ha [tex]|w| < 2[/tex] e quindi [tex]\left| \frac{w}{2i} \right| < 1[/tex]. Quindi
[tex]\displaystyle g(w) = \frac{k}{2i} \frac{1}{1 + \frac{w}{2i}} = \frac{k}{2i} \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n \frac{w^n}{(2i)^n}[/tex]

[n1ghtmar3]

ok sembra che finalmente abbia capito!!! Grazie mille!! Purtroppo quando i prof corrono e saltano passaggi è difficile capire cosa fanno...oltretutto sentrando il tutto sull'origine è più facile, sia da capire che da fare!!!Grazie ancora!!