Dubbio su serie di funzioni
Ciao, studiando la convergenza puntuale e totale di questa serie di funzioni
$\sum_{n=1}^infty ln(1+nx)/(n^3x+n^2)$
mi è venuto un dubbio.
Innanzi tutto è lecito porre y=nx? Con questa posizione ho provato la convergenza totale e quindi puntuale per $y>=0$
$\sum_{n=1}^infty ln(1+y)/(n^2(1+y)) <= \sum_{n=1}^infty y/(n^2(1+y)) <= \sum_{n=1}^infty 1/(n^2) $
Avendo potuto fare quest'ultima maggiorazione solo nel caso in cui $y>=0$ e quindi $x>=0$. Dunque c'è convergenza totale per $x>=0$. Ora mi chiedo che cosa succede per $y \in (-1,0)$? Che cosa posso dire sulla convergenza?
Mi potete aiutare?
Grazie
$\sum_{n=1}^infty ln(1+nx)/(n^3x+n^2)$
mi è venuto un dubbio.
Innanzi tutto è lecito porre y=nx? Con questa posizione ho provato la convergenza totale e quindi puntuale per $y>=0$
$\sum_{n=1}^infty ln(1+y)/(n^2(1+y)) <= \sum_{n=1}^infty y/(n^2(1+y)) <= \sum_{n=1}^infty 1/(n^2) $
Avendo potuto fare quest'ultima maggiorazione solo nel caso in cui $y>=0$ e quindi $x>=0$. Dunque c'è convergenza totale per $x>=0$. Ora mi chiedo che cosa succede per $y \in (-1,0)$? Che cosa posso dire sulla convergenza?
Mi potete aiutare?
Grazie
Risposte
In realtà te ne frega poco e niente di quello che succede in $-1
Infatti l'addendo $n$-esimo della serie è definito in $]-1/n,+oo[$, di modo che la serie è definita nel più grande insieme dove sono definiti tutti gli addendi che, per noti fatti, è:
$D:=\bigcap_(n\in NN) ]-1/n,+oo[=[0,+oo[ \quad$.
Quindi la serie va studiata in $D$ e ciò importa che il ragionamento che hai fatto (e che può essere fatto benissimo senza quella sostituzione...) basta e avanza per dire che quella serie è totalmente convergente in $D$.
Infatti l'addendo $n$-esimo della serie è definito in $]-1/n,+oo[$, di modo che la serie è definita nel più grande insieme dove sono definiti tutti gli addendi che, per noti fatti, è:
$D:=\bigcap_(n\in NN) ]-1/n,+oo[=[0,+oo[ \quad$.
Quindi la serie va studiata in $D$ e ciò importa che il ragionamento che hai fatto (e che può essere fatto benissimo senza quella sostituzione...) basta e avanza per dire che quella serie è totalmente convergente in $D$.
Comunque una sostituzione come quella proposta non mi pare lecita.
Se no studiando la serie $\sum_{n=0}^\infty\frac{n^nx^n}{n!}$ si potrebbe porre $y=nx$, passare alla serie $\sum_{n=0}^\infty\frac{y^n}{n!}$ che converge per ogni $y$ e dedurne (
)
che la serie di partenza converge per ogni $x$.
Se no studiando la serie $\sum_{n=0}^\infty\frac{n^nx^n}{n!}$ si potrebbe porre $y=nx$, passare alla serie $\sum_{n=0}^\infty\frac{y^n}{n!}$ che converge per ogni $y$ e dedurne (
)che la serie di partenza converge per ogni $x$.
Infatti quella sostituzione non è un gran che.
Il fatto che ogni applicazione $phi_n: x\mapsto nx$ porta $D$ in $D$ e conserva la concavità del logaritmo, cosicché in effetti non succedono cose turche, fa sembrare che tutto funzioni come si deve.
Epperò quella sostituzione non è lecita.
Tuttavia, visto che $ln(1+nx)$ è concava e che la retta d'equazione $y=nx$ è tangente a $ln(1+nx)$ in $0$, si ha sempre $ln(1+nx)<=nx$ per $x>=0$, quindi:
$(log(1+nx))/(n^2(1+nx))<= 1/n^2*(nx)/(1+nx)<=1/n^2$
e tutto si aggiusta formalmente.
Il fatto che ogni applicazione $phi_n: x\mapsto nx$ porta $D$ in $D$ e conserva la concavità del logaritmo, cosicché in effetti non succedono cose turche, fa sembrare che tutto funzioni come si deve.
Epperò quella sostituzione non è lecita.
Tuttavia, visto che $ln(1+nx)$ è concava e che la retta d'equazione $y=nx$ è tangente a $ln(1+nx)$ in $0$, si ha sempre $ln(1+nx)<=nx$ per $x>=0$, quindi:
$(log(1+nx))/(n^2(1+nx))<= 1/n^2*(nx)/(1+nx)<=1/n^2$
e tutto si aggiusta formalmente.
In effetti è stata proprio quella sostituzione (di cui non ero sicuro sin dall'inizio) a farmi venire tutti i dubbi tra cui quello del carattere della serie tra -1 e 0. Adesso ho ben compreso la questione. Grazie a tutti per il pronto intervento 
"ViciousGoblin":
Comunque una sostituzione come quella proposta non mi pare lecita.
Se no studiando la serie $\sum_{n=0}^\infty\frac{n^nx^n}{n!}$ si potrebbe porre $y=nx$, passare alla serie $\sum_{n=0}^\infty\frac{y^n}{n!}$ che converge per ogni $y$ e dedurne (
che la serie di partenza converge per ogni $x$.
Più che altro, se la sostituzione coinvolge una quantità che dipende da n (in questo caso $nx$), è chiaro che non può essere usata.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo