Dubbio su serie, criterio del rapporto
Ciao a tutti, volevo porre una domanda che per molti sembrerà banale, ma che non riesco proprio a capire. Ho appena iniziato a studiare le serie e mi sto esercitando su esercizi base
Ho :
Serie da 0 a inf. di $ (n!)/n^n $
Praticamente dopo aver verificato che $ an >= 0 $
E dopo aver applicato il criterio del rapporto mi ritrovo : $ ((n/n+1)^n) $
Ora a me verrebbe da applicare il criterio del confronto asintotico così da avere n su n che diventa 1, che elevato ad n fa sempre 1.
O è una forma d'indecisione? Mi confondo spesso perchè ho visto alcuni casi in cui 1 alla n fa 1 e altri in cui 1 alla n è una forma d'indecisione.
L'altra idea era di utilizzare il limite notevole, ovvero so che il reciproco di quella roba tra parentesi è uguale a e, quindi tutto = a $ 1/e $
La seconda domanda invece era :
Scrivere serie di n che va da 0 a infinito di una successione an, è equivalente a scrivere limite per n che tende a infinito di an? Non capisco in base a cosa si passi dalla scrittura della serie numerica a quella del limite.
Grazie mille a chiunque risponderà.
Ho :
Serie da 0 a inf. di $ (n!)/n^n $
Praticamente dopo aver verificato che $ an >= 0 $
E dopo aver applicato il criterio del rapporto mi ritrovo : $ ((n/n+1)^n) $
Ora a me verrebbe da applicare il criterio del confronto asintotico così da avere n su n che diventa 1, che elevato ad n fa sempre 1.
O è una forma d'indecisione? Mi confondo spesso perchè ho visto alcuni casi in cui 1 alla n fa 1 e altri in cui 1 alla n è una forma d'indecisione.
L'altra idea era di utilizzare il limite notevole, ovvero so che il reciproco di quella roba tra parentesi è uguale a e, quindi tutto = a $ 1/e $
La seconda domanda invece era :
Scrivere serie di n che va da 0 a infinito di una successione an, è equivalente a scrivere limite per n che tende a infinito di an? Non capisco in base a cosa si passi dalla scrittura della serie numerica a quella del limite.
Grazie mille a chiunque risponderà.
Risposte
Ciao Fievel,
Innanzitutto va verificata la C.N quindi effettuiamo il seguente limite: $ lim_(x->oo)(n!)/n^n $ dal momento che $ n^n $ è l'infinito di ordine superiore, il limite è uguale a 0, quindi non possiamo concluderne nulla.
Applicando il criterio del rapporto abbiamo:
$ sum_(n=1)^oo (n!)/n^n $ (Nota: Ho modificato l'indice di partenza n, perché per n=0 non è definita)
$ lim_(n->+oo )((n+1)!)/(n+1)^(n+1)*n^n/(n!)=lim_(n->+oo )(n+1)/((n+1)^n*(n+1))+n^n=lim_(n->+oo )(n/(n+1))^n=lim_(n->+oo ) 1/((n+1)/n)^n=lim_(n->+oo ) 1/(1+1/n)^n =1/e<1 => $ converge.
Per quanto riguarda la seconda domanda scrivere $ sum_(n=1)^oo (n!)/n^n $ equivale a scrivere $ lim_(n->oo) s_n $ dove $ s_n $ è la successione delle somme parziali.
P.S. = $ 1^n : n->oo $ è una forma indeterminata.
Innanzitutto va verificata la C.N quindi effettuiamo il seguente limite: $ lim_(x->oo)(n!)/n^n $ dal momento che $ n^n $ è l'infinito di ordine superiore, il limite è uguale a 0, quindi non possiamo concluderne nulla.
Applicando il criterio del rapporto abbiamo:
$ sum_(n=1)^oo (n!)/n^n $ (Nota: Ho modificato l'indice di partenza n, perché per n=0 non è definita)
$ lim_(n->+oo )((n+1)!)/(n+1)^(n+1)*n^n/(n!)=lim_(n->+oo )(n+1)/((n+1)^n*(n+1))+n^n=lim_(n->+oo )(n/(n+1))^n=lim_(n->+oo ) 1/((n+1)/n)^n=lim_(n->+oo ) 1/(1+1/n)^n =1/e<1 => $ converge.
Per quanto riguarda la seconda domanda scrivere $ sum_(n=1)^oo (n!)/n^n $ equivale a scrivere $ lim_(n->oo) s_n $ dove $ s_n $ è la successione delle somme parziali.
P.S. = $ 1^n : n->oo $ è una forma indeterminata.
"Papercut":
Ciao Fievel,
Innanzitutto va verificata la C.N quindi effettuiamo il seguente limite: $ lim_(x->oo)(n!)/n^n $ dal momento che $ n^n $ è l'infinito di ordine superiore, il limite è uguale a 0, quindi non possiamo concluderne nulla.
Applicando il criterio del rapporto abbiamo:
$ sum_(n=1)^oo (n!)/n^n $ (Nota: Ho modificato l'indice di partenza n, perché per n=0 non è definita)
$ lim_(n->+oo )((n+1)!)/(n+1)^(n+1)*n^n/(n!)=lim_(n->+oo )(n+1)/((n+1)^n*(n+1))+n^n=lim_(n->+oo )(n/(n+1))^n=lim_(n->+oo ) 1/((n+1)/n)^n=lim_(n->+oo ) 1/(1+1/n)^n =1/e<1 => $ converge.
Per quanto riguarda la seconda domanda scrivere $ sum_(n=1)^oo (n!)/n^n $ equivale a scrivere $ lim_(n->oo) s_n $ dove $ s_n $ è la successione delle somme parziali.
P.S. = $ 1^n : n->oo $ è una forma indeterminata.
Grazie mille per la rapida risposta.
Solo non ho capito come mai hai modificato l'indice di partenza
E non ho capito come mai ad esempio nella serie che ho sul libro :
Sommatoria da 0 a inf di $ (-1)^n * n^2/n^4 $
Avendo una serie di segno variabile applico il criterio di convergenza assoluta e ho :
$ | 1^n * n^2/n^4 | = n^2 / n^4 $
alla fine 1^n dovrebbe essere una forma indeterminata ?
Ciao Fievel,
No, $1^n $ per $n \to infty $ non è una forma indeterminata: risulta $1$.
Ho scritto un post qualche tempo fa sull'analisi del limite seguente:
$lim_{x \to +\infty} (1 + a/x)^x = e^a $
concludendo che il risultato è quello scritto $\AA a \in \RR $ e quindi anche per $a = 0$
Se lo trovo te lo posto.
"Fievel":
alla fine 1^n dovrebbe essere una forma indeterminata ?
No, $1^n $ per $n \to infty $ non è una forma indeterminata: risulta $1$.
Ho scritto un post qualche tempo fa sull'analisi del limite seguente:
$lim_{x \to +\infty} (1 + a/x)^x = e^a $
concludendo che il risultato è quello scritto $\AA a \in \RR $ e quindi anche per $a = 0$
Se lo trovo te lo posto.
In effetti, ha pienamente ragione pilloeffe, per quanto riguarda la $ 1^n $, mi ero perso nel considerar il buon caro limite del numero e 
"pilloeffe":
Ciao Fievel,
[quote="Fievel"]alla fine 1^n dovrebbe essere una forma indeterminata ?
No, $1^n $ per $n \to infty $ non è una forma indeterminata: risulta $1$.
Ho scritto un post qualche tempo fa sull'analisi del limite seguente:
$lim_{x \to +\infty} (1 + a/x)^x = e^a $
concludendo che il risultato è quello scritto $\AA a \in \RR $ e quindi anche per $a = 0$
Se lo trovo te lo posto.[/quote]
Qual è esattamente la differenza dall avere un limite che tende a $ 1^inf = [FI] $ e avere $ 1^inf $ ?
Non riesco a capire come mai questa differenza
Ricordi piu' o meno quando l'hai scritto? in caso cerco tra i thread vari, mi toglierebbe davvero un sacco di dubbi.
Ho un' altro dubbio che non mi da pace, allego foto.
Sapete dirmi come si arriva a quel $ 1/n $ a destra ?
Non dovrebbe essere sempre $ ((-1)^n)/n $ quella parte? Avevo pensato ad un raccoglimento, ma :
$ (-1)^n * [1/(n^(1/2)) + 1/n ] $
Non posso separare in due serie questa cosa se raccolgo, dove sto sbagliando?
Sapete dirmi come si arriva a quel $ 1/n $ a destra ?
Non dovrebbe essere sempre $ ((-1)^n)/n $ quella parte? Avevo pensato ad un raccoglimento, ma :
$ (-1)^n * [1/(n^(1/2)) + 1/n ] $
Non posso separare in due serie questa cosa se raccolgo, dove sto sbagliando?
"Fievel":
Non riesco a capire come mai questa differenza
Ricordi piu' o meno quando l'hai scritto? in caso cerco tra i thread vari, mi toglierebbe davvero un sacco di dubbi.
Eccolo qui
Perfetto, grazie mille. sapresti invece dirmi come mai avviene l'operazione che ho postato nel messaggio precedente?
Per motivi tecnici l'immagine non riesco a vederla: se provi a scriverla, magari più tardi posso provare a risponderti... 
"Fievel":
Sapete dirmi come si arriva a quel $1/n $ a destra ?
Beh, è semplice: moltiplicando $(-1)^n $ per $(-1)^n $ si ottiene $(-1)^{2n} = 1 \quad \AA n $
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