Dubbio su serie con coseno
Salve, devo risolvere la seguente serie ma non sono certo su come risolverla
la serie è la seguente: $\sum_{n=1}^(+oo) n^4(1-cos(1/n))^3$
ora io so che l'argomento del coseno tende a $0$ e quindi dovrei forse sfruttare tramite il confronto asintotico, il limite notevole $\lim_{n \to \0}(1-cos(n))/n^2=1/2$ ?? pero essendoci quel $n^4$ davanti ed essendo $(1-cos(1/n))^3$ ho dei dubbi e non capisco come scegliere una eventuale serie con cui confrontare la mia o se devo invece prendere un altra strada
grazie a chi mi dara una dritta
stavo provando e forse devo fare cosi:
con confronto asintotico scelgo di moltiplicare tutto per $n^alpha$ e quindi scegliendo questo $alpha=2$ dovrei ottenere questo
$\lim_{n \to \infty}n^6(1-cos(1/n))^3$ ora me la scrivo in modo da far venire fuori quel limite notevole in questo modo
$\lim_{n \to \infty}((1-cos(1/n))^3)/(1/n^2)^3$ ora potrei scrivere tutto sotto una unica potenza e ottenere quindi
$\lim_{n \to \infty}((1-cos(1/n))/(1/n^2))^3$ a questo punto alla fine otterei che questo limite fa $(1/2)^3=1/8!=0$ e essendo convergente la serie $1/n^2$ posso concludere che la mia serie converge pure è corretto ?
la serie è la seguente: $\sum_{n=1}^(+oo) n^4(1-cos(1/n))^3$
ora io so che l'argomento del coseno tende a $0$ e quindi dovrei forse sfruttare tramite il confronto asintotico, il limite notevole $\lim_{n \to \0}(1-cos(n))/n^2=1/2$ ?? pero essendoci quel $n^4$ davanti ed essendo $(1-cos(1/n))^3$ ho dei dubbi e non capisco come scegliere una eventuale serie con cui confrontare la mia o se devo invece prendere un altra strada
grazie a chi mi dara una dritta
stavo provando e forse devo fare cosi:
con confronto asintotico scelgo di moltiplicare tutto per $n^alpha$ e quindi scegliendo questo $alpha=2$ dovrei ottenere questo
$\lim_{n \to \infty}n^6(1-cos(1/n))^3$ ora me la scrivo in modo da far venire fuori quel limite notevole in questo modo
$\lim_{n \to \infty}((1-cos(1/n))^3)/(1/n^2)^3$ ora potrei scrivere tutto sotto una unica potenza e ottenere quindi
$\lim_{n \to \infty}((1-cos(1/n))/(1/n^2))^3$ a questo punto alla fine otterei che questo limite fa $(1/2)^3=1/8!=0$ e essendo convergente la serie $1/n^2$ posso concludere che la mia serie converge pure è corretto ?
Risposte
Tramite il limite notevole da te esposto sai che per $n\to\infty$, $1-cos(1/n)$ va come $1/(2n^2)$.
Prova a finire tu: usando questo, con cosa puoi confrontare il termine della serie?
Paola
Prova a finire tu: usando questo, con cosa puoi confrontare il termine della serie?
Paola
stavo provando quando hai risposto è corretto quello che ho fatto ? dal consiglio che mi hai dato suppongo di si
Sì esatto. Quel termine va come $(1/n^2)^3$, che moltiplicato con il $n^4$ della serie dà comunque $1/n^2$, termine di una serie convergente.
Paola
Paola
perfetto grazie mille
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