Dubbio su serie
salve,
ho un dubbio quando ho una serie come questa ad esempio :$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\1/(1+(3/2)^n)$ in cui al denominatore ho una serie geometrica ke diverge positivamente, la mia serie complessiva converge oppure poichè al denominatore ho una serie divergente allora la serie converge de in particolare a zerò????
invece per la serie $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\(n^2ln(n))/(n^2+1)^2$ avevo pensato di risolverla con il criterio degli infinitesimi, ma nn riesco a capire il grado del numeratore qual è, in particolare quello del logaritmo.....oppure c'è un metodo piu semplice invece di applicare tale criterio quando ho i logaritmi???
grazie...
ho un dubbio quando ho una serie come questa ad esempio :$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\1/(1+(3/2)^n)$ in cui al denominatore ho una serie geometrica ke diverge positivamente, la mia serie complessiva converge oppure poichè al denominatore ho una serie divergente allora la serie converge de in particolare a zerò????
invece per la serie $f(x)=\sum_{n=0}^\infty\(n^2ln(n))/(n^2+1)^2$ avevo pensato di risolverla con il criterio degli infinitesimi, ma nn riesco a capire il grado del numeratore qual è, in particolare quello del logaritmo.....oppure c'è un metodo piu semplice invece di applicare tale criterio quando ho i logaritmi???
grazie...
Risposte
Al denominatore hai una serie che diverge?!??! Ma dove?!?
Attento! $ sum 1/a_n != 1/(sum a_n) $
Più che altro puoi dire che al denominatore hai un termine asintoticamente equivalente a $(3/2)^n$ e che quindi la tua serie converge per confronto asintotico con la serie geometrica di ragione $2/3$. E' un pò ( molto ) diversa la cosa
Potresti usare il criterio di condensazione per toglierti dalle scatole il logaritmo
Comunque converge perchè asintoticamente quella serie si comporta come $(o( n^2))/n^2$.
Attento! $ sum 1/a_n != 1/(sum a_n) $
Più che altro puoi dire che al denominatore hai un termine asintoticamente equivalente a $(3/2)^n$ e che quindi la tua serie converge per confronto asintotico con la serie geometrica di ragione $2/3$. E' un pò ( molto ) diversa la cosa
Potresti usare il criterio di condensazione per toglierti dalle scatole il logaritmo
Comunque converge perchè asintoticamente quella serie si comporta come $(o( n^2))/n^2$.
grazie, gentilissimo ed ho capito la differenza, ma riguardo alla seconda serie io ho studiato solo i criteri della radice, degli infinitesimi leibnitz, del rapporto, ma quello di condensazione nn l'ha spiegato il prof nn c'è nemmno nel programma quindi nn c'è qualke altro metodo ke possa utilizzare???? tipo forme asintotiche???cioè il logaritmo asintoticamnte a cosa si comporta????
Mmmm.. no purtroppo il logaritmo non puoi esprimerlo in altre forme, anche se è un infinito di ordine ifneriore rispetto ad un polinomio.. Hai già provato col rapporto?
si l'ho provato ora se nn ho sbagliato i calcoli al numeratore ho un polinomio di grado massimo 6 moltiplicato per &ln(n+1)&, al denominatore un polinomio di grado massimo 10 moltiplicato per &ln(n)& allora per il criterio del rapporto poichè il limite va a zero quindi è minore di 1 allora converge
Beh si, infatti $lim_{oo} log(n+1)/(log n) = 1$ quindi quelli che devi considerare sono proprio i polinomi. Tale limite tende a 0, e quindi la serie converge.
In questi casi comunque nota sempre subito che il logaritmo ha meno peso nell'andamento a più infinito, i termini determinanti sono, in ordine crescente, i polinomi, gli esponenziali del tipo $n^\alpha$, quelli del tipo $k^n$, i fattoriali ed infine gli esponenziali del tipo $n^n$ che sono ultra-potenti
In questi casi comunque nota sempre subito che il logaritmo ha meno peso nell'andamento a più infinito, i termini determinanti sono, in ordine crescente, i polinomi, gli esponenziali del tipo $n^\alpha$, quelli del tipo $k^n$, i fattoriali ed infine gli esponenziali del tipo $n^n$ che sono ultra-potenti
grazie per avermi rcordato anke gli ordini di infiniti, per fortuna questi il prof li ha fatti, cmq la mia paura è quando vedo i logaritmi xkè non so a ke posso approssimare il loro comportamento, cmq grazie lo stesso.
Che io sappia non puoi. E, visto che non avete studiato il criterio di condensazione, mi sa che l'unico modo di affrontare queste serie è col criterio del rapporto!
ok grazie mille!!!
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