Dubbio su risultato differenziabilità
Salve a tutti,
vorrei solo capire se è corretto quello che ho fatto.
- Verifico la continuità in (0,0)
- Verifico che la funzione sia derivabile.. quindi:
$lim_(h->0)(((x+h)^3+y^3)/((x+h)^2+y^2)-(x^3+y^3)/(x^2+y^2))/h$ che mi risulta infinito quindi mi verrebbe di fermarmi e dire già che nn è differenziabile (anche se continua).
E' sbagliato?
vorrei solo capire se è corretto quello che ho fatto.
- Verifico la continuità in (0,0)
- Verifico che la funzione sia derivabile.. quindi:
$lim_(h->0)(((x+h)^3+y^3)/((x+h)^2+y^2)-(x^3+y^3)/(x^2+y^2))/h$ che mi risulta infinito quindi mi verrebbe di fermarmi e dire già che nn è differenziabile (anche se continua).
E' sbagliato?
Risposte
così ad occhio dovrebbe essere una funzione continua, ma non differenziabile...comunque non capisco il rapporto incrementale che hai impostato...la derivata nel punto non dovrebbe fare infinito!
in $(0,0)$ la derivata della funzione è data da (utilizzando le coordinate polari)
$lim_(\rho->0)((\rho^3(cos^3(\theta)+sen^3(\theta)))/(\rho^2))/(\rho)$
ossia
$cos^3(\theta)+sen^3(\theta)$
sempre tramite rapporto incrementale ti calcoli le derivate parziali ed infine fai la verifica della differenziabilità! ciao
in $(0,0)$ la derivata della funzione è data da (utilizzando le coordinate polari)
$lim_(\rho->0)((\rho^3(cos^3(\theta)+sen^3(\theta)))/(\rho^2))/(\rho)$
ossia
$cos^3(\theta)+sen^3(\theta)$
sempre tramite rapporto incrementale ti calcoli le derivate parziali ed infine fai la verifica della differenziabilità! ciao
innanzitutto grazie per la risposta.
In realtà io non calcolo la derivata nel punto ma verifico la derivabilità della funzione. Ti mostro come svolgo un esercizio del genere:
- Verifico che la funzione sia continua nel punto ovvero: $lim_(x,y->x_0,y_0)f(x,y)=f(x_0,y_0)$
- Verifico che la funzione ammetta derivate parziali ovvero:
$lim_(h->0)(f(x+h,y)-f(x,y))/h=l_1$ (se esiste e finito)
ed
$lim_(k->0)(f(x,y+k)-f(x,y))/k=l_2$ (se esiste e finito)
- Verifico che $lim_(h1,h2->0,0)(f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-f'_x(x,y)h_1-f'_y(x,y)h_2)/sqrt(h_1^2+h_2^2)=0$
Nel caso specifico di questo esercizio il primo punto (continuità) è verificato e poi però scopro che non ammette derivate parziali. Però a questo punto mi stai facendo venire un dubbio.. io verifico la derivabilità della funzione su tutto il suo dominio e non sul punto interessato quindi forse quello che faccio non è necessario perchè per me è sufficiente che lo sia su quel punto.. Mi spieghi dove sbaglio?
In realtà io non calcolo la derivata nel punto ma verifico la derivabilità della funzione. Ti mostro come svolgo un esercizio del genere:
- Verifico che la funzione sia continua nel punto ovvero: $lim_(x,y->x_0,y_0)f(x,y)=f(x_0,y_0)$
- Verifico che la funzione ammetta derivate parziali ovvero:
$lim_(h->0)(f(x+h,y)-f(x,y))/h=l_1$ (se esiste e finito)
ed
$lim_(k->0)(f(x,y+k)-f(x,y))/k=l_2$ (se esiste e finito)
- Verifico che $lim_(h1,h2->0,0)(f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-f'_x(x,y)h_1-f'_y(x,y)h_2)/sqrt(h_1^2+h_2^2)=0$
Nel caso specifico di questo esercizio il primo punto (continuità) è verificato e poi però scopro che non ammette derivate parziali. Però a questo punto mi stai facendo venire un dubbio.. io verifico la derivabilità della funzione su tutto il suo dominio e non sul punto interessato quindi forse quello che faccio non è necessario perchè per me è sufficiente che lo sia su quel punto.. Mi spieghi dove sbaglio?
"CyberCrasher":
Nel caso specifico di questo esercizio il primo punto (continuità) è verificato e poi però scopro che non ammette derivate parziali.
Scusa, ma le derivate parziali in $(0,0)$ si trovano così:
$lim_(x->0)((x-0)^3/(x-0)^2 - 0)/(x-0)=1$
$lim_(y->0)((y-0)^3/(y-0)^2 - 0)/(y-0)=1$
quindi le due derivate parziali esistono e valogono entrambe $1$.
Poi verifichi la differenziabilità (sfruttando le coordinate polari):
$lim_(\rho->0) (\rho(cos^3(\theta)+sen^3(\theta))-0-\rho(cos(\theta)+sen(\theta)))/(\rho)=0$
semplificando rimane:
$cos^3(\theta)+sen^3(\theta)-cos(\theta)+sen(\theta)=0$
Quindi si vede che non varrà sempre $0$, ma solo per certi valori di $\theta$...percui la funzione non è differenziabile.
grazie mille.. spiegazione perfetta e chiarissima!!
Per esempio...
Qui io verifico subito che non è continua quindi termino subito l'esercizio con la risposta c.. è corretto?
Ecco il procedimento:
$lim_(x,y->0,0)(x+y)/(sqrt(x^2+y^2)) -> lim_(rho->0)(rho(cos(theta)+sen(theta)))/p= lim_(rho->0)cos(theta)+sen(theta)$ che dipende da $theta$. E' corretto?
Qui io verifico subito che non è continua quindi termino subito l'esercizio con la risposta c.. è corretto?
Ecco il procedimento:
$lim_(x,y->0,0)(x+y)/(sqrt(x^2+y^2)) -> lim_(rho->0)(rho(cos(theta)+sen(theta)))/p= lim_(rho->0)cos(theta)+sen(theta)$ che dipende da $theta$. E' corretto?
Si, è corretto!
"Alexp":
Si, è corretto!
grazie mille!!!
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