Dubbio su risoluzione di un integrale
Salve a tutti,
scrivo per chiedere chiarimenti sulla soluzione di un integrale indefinito. Seguendo due metodi di risoluzione differenti ottengo risultati differenti (verificati esser corretti con ti89)...
$ int_() (1-z)/(z-2)^2 $
Usando appena un pizzico di ingegno si può ottenere:
$ int_() (1-z)/(z-2)^2 dz = $
$ = -1/2 int_() (-2(1-z))/(z-2)^2 dz = $
$ = -1/2 int_() (2z - 2 - 2 + 2)/(z-2)^2 dz = $
$ = -1/2 int_() (2z - 4 + 2)/(z-2)^2 dz = $
$ = -1/2 int_() (2z - 4)/(z-2)^2 - int_() 1/(z-2)^2 dz = $
$ = -1/2 log (z-2)^2 +1/(z-2)= - log(z-2)+1/(z-2) $
Procedendo invece in modo diverso...
$ int_() (1-z)/(z-2)^2 dz = int_() 1/(z-2)^2 dz - int_() z/(z-2)^2 dz = $
$ = -1/(z-2) - int_() z/(z-2)^2 dz $
Risolvendo $ int_() z/(z-2)^2 dz $ per parti otteniamo:
$ int_() z/(z-2)^2 dz = -z/(z-2) - int_() -1/(z-2) dz = -z/(z-2) + int_() 1/(z-2) dz = - z/(z-2) + log(z-2) $
Di conseguenza la soluzione dell'integrale di partenza sarà:
$ int_() z/(z-2)^2 dz = -1/(z-2) - int_() z/(z-2)^2 dz = -1/(z-2) - (- z/(z-2) + log(z-2)) = -1/(z-2) + z/(z-2) - log(z-2) = (z-1)/(z-2) - log(z-2) $
Perché si ottengono due risultati differenti? Da notare che derivando entrambi gli integrali si ottiene la funzione integranda di partenza, ha testimoniare che le primitive trovate sono corrette...
Dove sbaglio?
Chiaramente la funzione integranda perde significato per z=2, punto in cui il grafico ha un asintoto verticale, ma questo vale per entrambi i casi ovviamente.
Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno e potranno dedicarmi tempo.
Cordiali saluti.
scrivo per chiedere chiarimenti sulla soluzione di un integrale indefinito. Seguendo due metodi di risoluzione differenti ottengo risultati differenti (verificati esser corretti con ti89)...
$ int_() (1-z)/(z-2)^2 $
Usando appena un pizzico di ingegno si può ottenere:
$ int_() (1-z)/(z-2)^2 dz = $
$ = -1/2 int_() (-2(1-z))/(z-2)^2 dz = $
$ = -1/2 int_() (2z - 2 - 2 + 2)/(z-2)^2 dz = $
$ = -1/2 int_() (2z - 4 + 2)/(z-2)^2 dz = $
$ = -1/2 int_() (2z - 4)/(z-2)^2 - int_() 1/(z-2)^2 dz = $
$ = -1/2 log (z-2)^2 +1/(z-2)= - log(z-2)+1/(z-2) $
Procedendo invece in modo diverso...
$ int_() (1-z)/(z-2)^2 dz = int_() 1/(z-2)^2 dz - int_() z/(z-2)^2 dz = $
$ = -1/(z-2) - int_() z/(z-2)^2 dz $
Risolvendo $ int_() z/(z-2)^2 dz $ per parti otteniamo:
$ int_() z/(z-2)^2 dz = -z/(z-2) - int_() -1/(z-2) dz = -z/(z-2) + int_() 1/(z-2) dz = - z/(z-2) + log(z-2) $
Di conseguenza la soluzione dell'integrale di partenza sarà:
$ int_() z/(z-2)^2 dz = -1/(z-2) - int_() z/(z-2)^2 dz = -1/(z-2) - (- z/(z-2) + log(z-2)) = -1/(z-2) + z/(z-2) - log(z-2) = (z-1)/(z-2) - log(z-2) $
Perché si ottengono due risultati differenti? Da notare che derivando entrambi gli integrali si ottiene la funzione integranda di partenza, ha testimoniare che le primitive trovate sono corrette...
Dove sbaglio?
Chiaramente la funzione integranda perde significato per z=2, punto in cui il grafico ha un asintoto verticale, ma questo vale per entrambi i casi ovviamente.
Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno e potranno dedicarmi tempo.
Cordiali saluti.
Risposte
Arcipuffolina non riesco a venirne a capo! Ho il timore che mi stia perdendo in un bicchier d'acqua...o forse no... qualche idea?
grazie mille!
grazie mille!
A parte che l'argomento del logaritmo deve essere in valore assoluto, se proprio si volesse parlare di errore ci manca la costante additiva arbitraria alla fine di tali integrali e magia:
[tex]$\frac{z-1}{z-2}-\log|z-2|+c=\frac{z-1-1+1}{z-2}-\log|z-2|+c$[/tex]
[tex]$=\frac{z-2+1}{z-2}-\log|z-2|+c=\frac{1}{z-2}+\frac{z-2}{z-2}-\log|z-2|+c=\frac{1}{z-2}+1-\log|z-2|+c$[/tex]
per cui 1 è parte della costante additiva arbitraria c! Q.E.D.
[tex]$\frac{z-1}{z-2}-\log|z-2|+c=\frac{z-1-1+1}{z-2}-\log|z-2|+c$[/tex]
[tex]$=\frac{z-2+1}{z-2}-\log|z-2|+c=\frac{1}{z-2}+\frac{z-2}{z-2}-\log|z-2|+c=\frac{1}{z-2}+1-\log|z-2|+c$[/tex]
per cui 1 è parte della costante additiva arbitraria c! Q.E.D.
giusto...
in realtà questo integrale veniva fuori nella risoluzione di un'equazione differenziale omogenea, in cui tutte le costanti additive vengo concentrate in una sola...ecco perché avevo perso di vista i fondamenti del calcolo integrale...accidenti!
grazie mille...e scusate la domanda idiota!
in realtà questo integrale veniva fuori nella risoluzione di un'equazione differenziale omogenea, in cui tutte le costanti additive vengo concentrate in una sola...ecco perché avevo perso di vista i fondamenti del calcolo integrale...accidenti!
grazie mille...e scusate la domanda idiota!
Idiota non direi, io ci sono rimasto leggendo 2 metodi corretti e 2 primitive corrette e "distinte" 
Ricordo che tempo fa anche io ero impazzito per via di un'equazione differenziale, il mio integrale veniva diverso da quello del libro e non capivo perchè! Postai un topic "Bug negli integrali" dove gugo mi ha stroncato dicendomi che non c'era niente di strano che due primitive differissero di una costante.
A quel punto mi sono messo a piangere
A quel punto mi sono messo a piangere
"pater46":
Ricordo che tempo fa anche io ero impazzito per via di un'equazione differenziale, il mio integrale veniva diverso da quello del libro e non capivo perchè! Postai un topic "Bug negli integrali" dove gugo mi ha stroncato dicendomi che non c'era niente di strano che due primitive differissero di una costante.
Qui.
Però stroncato... E che è!
Ti ho solo fatto notare che non c'era nulla di buggato.
"pater46":
A quel punto mi sono messo a piangere
Non credevo che in "modalità delicata" potessi essere così devastante...
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