Dubbio su rappresentazione equazione complessa

[Mascurzo91]

Devo rappresentare un'equazione di questo tipo

\(\displaystyle z^2 +|z|^2+z-1=0 \)

pongo \(\displaystyle z=a+ib \)

Sostituisco:

\(\displaystyle a^2-b^2+2abi +a^2+b^2+a+bi-1=0 \)

\(\displaystyle 2a^2+a+i(2ab+b)=1 \)

Questa è uguale a 1 se e solo se la parte reale è uguale a 1 e la parte immaginaria uguale a 0 per cui ho un sistema

Risolvo:

\begin{cases}
2ab+b=0\\2a^2+a-1=0
\end{cases}
\begin{cases}
b(2a+1)=0\\2a^2+a-1=0
\end{cases}

Da cui ottengo

\(\displaystyle b=0 \)
\(\displaystyle a=-\frac{1}{2} \)

\(\displaystyle a=-1 \)
\(\displaystyle a=\frac{1}{2} \)

Ho però dei problemi a interpretarle, cioè unendo le soluzioni ho che b è per forza 0, ma che a può assumere 3 valori, di conseguenza esistono 3 punti:
\(\displaystyle (-1,0);\left(\frac{1}{2},0\right);\left(-\frac{1}{2},0\right) \)

E' corretto?

[ciampax]

Partiamo da qui:

"Mascurzo91":
\begin{cases}
b(2a+1)=0\\2a^2+a-1=0
\end{cases}

La prima equazione afferma che hai due possibilità:
1) o $b=0$ per cui devi risolvere la seconda ottenendo $a=-1,\ a=1/2$ e quindi i punti $z=-1,\ z=1/2$
2) oppure $a=-1/2$ che non è soluzione per la seconda e quindi non permette di risolvere il sistema.

ne segue che hai solo le due soluzioni al punto $1$.

[Mascurzo91]

Gentilissimo ciampax, grazie mille è tutto chiaro