Dubbio su "insieme dei valori"

[Burra]

Ho un dubbio su un esercizio estrapolato da un compito che ha dato oggi il mio prof:

$f(x)=(x+2)/(3x+2)$

i) Calcolare il dominio A di f e dire se f è iniettiva;
ii) calcolare l'insieme dei valori $B = f(A)$ di $f$;

il primo punto e' semplice, mentre il secondo non capisco a cosa si riferisca, cosa vuol dire?

[fireball1]

Ti chiede di calcolare l'immagine di $f$,
(denotato, peraltro correttamente, con $f(A)$),
cioè l'insieme di tutti i valori assunti da $f$.

[Burra]

è giusto quindi porre:

$(x+2)/(3x+2) = y > 0$

da cui $x-3xy = 2y-2$ => $x(1-3y) = 2y-2$ => $x=(2y-2)/(1-3y)$ ?

[fireball1]

Sì, ma $y$ può essere qualsiasi numero reale,
non per forza positivo. $x$ invece dev'essere diverso
da $-2/3$, infatti la funzione data è definita in $RR\\{-2/3}$
ed ha valori in $RR$.
Facendo questo tu hai mostrato che, fissato
$y in f(A)$, esiste un'unica soluzione $x in A$
dell'equazione $f(x)=y$, quindi $f$ è iniettiva in $A$.

[Burra]

In realta' per dimostrare che era iniettiva avevo posto $f(x1)=f(x2) => x1=x2$ ...e fin qua ci sono, ma allora come si deve scrivere per risolvere il punto 2 correttamente?

[fireball1]

Devi determinare la monotonia della funzione e i suoi
limiti per $x->+oo$ e per $x->-oo$.

[Burra]

Eh, in teoria questo compito viene prima dei limiti e prima degli studi di funzione. E' questo che mi lascia perplesso... forse calcolando il minimo ed il massimo?

[fireball1]

Credo che per calcolare l'immagine serva prima uno studio completo di funzione...

[Burra]

Vedro' di chiedere a lui come intendeva risolvere l'esercizio, poi ti so dire!