Dubbio su punti di non differenziabilità
Quando devo ricercare i punti di massimo e minimo relativo di una funzione di più variabili, non mi è chiaro come trattare i punti di non differenziabilità. Credo che lo stesso discorso valga nel caso della ricerca di estremi vincolati di una funzione in punti di non regolarità del vincolo: se si richiede di determinare i punti di massimo e minimo assoluto basta calcolare i valore della funzione in questi punti, se invece bisogna calcolare i massimi e minimi locali il problema si ripropone, dal momento che se il punto non è regolare non posso calcolare l'hessiano della lagrangiana.
A questo proposito, mi servirebbe aiuto nella risoluzione di questo esercizio: ricercare gli estremi della funzione [tex]f(x,y)=|xy|[/tex].
A questo proposito, mi servirebbe aiuto nella risoluzione di questo esercizio: ricercare gli estremi della funzione [tex]f(x,y)=|xy|[/tex].
Risposte
"aeneas2019":
Quando devo ricercare i punti di massimo e minimo relativo di una funzione di più variabili, non mi è chiaro come trattare i punti di non differenziabilità. Credo che lo stesso discorso valga nel caso della ricerca di estremi vincolati di una funzione in punti di non regolarità del vincolo: se si richiede di determinare i punti di massimo e minimo assoluto basta calcolare i valore della funzione in questi punti, se invece bisogna calcolare i massimi e minimi locali il problema si ripropone, dal momento che se il punto non è regolare non posso calcolare l'hessiano della lagrangiana.
Ciao!
In tali punti si realizza infatti il cosidetto "studio locale",
e poi si mettono a confronto i risultati tra essi e quelli di regolarità;
il vero problema,in tal senso,è che non mi pare ci sia un metodo generale per gli studi locali
(e se c'è,a distanza di qualche tempo dall'esame,andrò a "rimproverare" il mio insegnante di Analisi II
):spesso è comunque utile la definizione di punti estremanti relativi,
ed altre volte vengon in aiuto considerazioni legate al segno della f(x,y) in intorni opportuni del punto di non regolarità,
ma è ancor più frequente doversi uscire dal cilindro considerazioni ad hoc suggerite dalla legge di definizione della tua funzione
(cosa che d'altronde,fatti i dovuti distinguo tra i due concetti,capita di dover fare pure nei punti "lisci" ad Hessiano nullo!).
"aeneas2019":
A questo proposito, mi servirebbe aiuto nella risoluzione di questo esercizio: ricercare gli estremi della funzione [tex]f(x,y)=|xy|[/tex].
Cade a fagiolo:
le considerazioni su esistenza delle derivate parziali e differenziabilità sugli assi,ed in quelli interni ai quadranti,
le avrai già fatte,
ed a questo punto ti basta osservare che $|xy|>=0$ $AA(x,y)inRR^2$..
Saluti dal web.
Grazie! Quindi questo vuol dire che non c'è un analogo del limite del rapporto incrementale o del limite della derivata per questo tipo di punti?
E se la funzione che ho scritto fosse vincolata alla circonferenza di centro l'origine e raggio 1?
E se la funzione che ho scritto fosse vincolata alla circonferenza di centro l'origine e raggio 1?
Innanzitutto,dato che non m'ero accorto che sei nuovo/a, benvenuto nel forum!
Come non c'è un analogo?
Sono proprio,rispettivamente,le derivate parziali(ammesso che esistano..),
e la differenziabilità(ancor meno scontata..):
non è che son stato troppo ottimista,quando ho detto che le considerazioni in merito dovresti averle già fatte?
Le posti,nel caso,che altrimenti non si sà per bene di che discutere e quali siano le tue difficoltà?
A quel punto sarà anche più facile parlare della tua domanda
in merito alla quale t'invito in primo luogo a chiarire se si stà in effetti parlando di circonferenza oppure di cerchio chiuso:
una differenza d'approccio,sebbene ad occhio e croce non sostanziale,c'è..
Saluti dal web.
"aeneas2019":
Grazie! Quindi questo vuol dire che non c'è un analogo del limite del rapporto incrementale o del limite della derivata per questo tipo di punti?
Come non c'è un analogo?
Sono proprio,rispettivamente,le derivate parziali(ammesso che esistano..),
e la differenziabilità(ancor meno scontata..):
non è che son stato troppo ottimista,quando ho detto che le considerazioni in merito dovresti averle già fatte?
Le posti,nel caso,che altrimenti non si sà per bene di che discutere e quali siano le tue difficoltà?
A quel punto sarà anche più facile parlare della tua domanda
"aeneas2019":,
E se la funzione che ho scritto fosse vincolata alla circonferenza di centro l'origine e raggio 1?
in merito alla quale t'invito in primo luogo a chiarire se si stà in effetti parlando di circonferenza oppure di cerchio chiuso:
una differenza d'approccio,sebbene ad occhio e croce non sostanziale,c'è..
Saluti dal web.
Mi sono espresso male. Intendevo dire che, nelle funzioni di una variabile, quando mi trovavo di fronte a un punto di non derivabilità, calcolavo il limite della derivata a destra e sinistra e, se mi usciva che il punto era una cuspide o un punto angoloso, potevo dedurre che era un minimo o un massimo locale. Ora mi pare di capire che un procedimento simile non c'è per le funzioni da R^N a R. Da qui il mio dubbio.
Allora la funzione che ho postato (che va studiata sul vincolo [tex]x^2+y^2=1[/tex]) è derivabile in tutto R^2 tranne che sull'asse y (dove non esiste la derivata parziale rispetto a x) e sull'asse x (dove non esiste la derivata parziale rispetto a y). Di conseguenza, non essendo soddisfatta la condizione necessaria di differenziabilità, sugli assi non è neanche differenziabile. Fin qui è giusto?
Allora la funzione che ho postato (che va studiata sul vincolo [tex]x^2+y^2=1[/tex]) è derivabile in tutto R^2 tranne che sull'asse y (dove non esiste la derivata parziale rispetto a x) e sull'asse x (dove non esiste la derivata parziale rispetto a y). Di conseguenza, non essendo soddisfatta la condizione necessaria di differenziabilità, sugli assi non è neanche differenziabile. Fin qui è giusto?
"aeneas2019":
Mi sono espresso male. Intendevo dire che, nelle funzioni di una variabile, quando mi trovavo di fronte a un punto di non derivabilità, calcolavo il limite della derivata a destra e sinistra e, se mi usciva che il punto era una cuspide o un punto angoloso, potevo dedurre che era un minimo o un massimo locale. Ora mi pare di capire che un procedimento simile non c'è per le funzioni da R^N a R. Da qui il mio dubbio.
Beh..forse sarebbe più corretto dire che i punti angolosi erano "candidabili" ad esser estremanti locali:
se ci pensi si può costruire senza eccessive difficoltà una funzione,reale d'una variabike reale,
crescente(o decrescente..)in un punto e che abbia ivi derivate prime sx e dx reali ma diverse tra loro..
"aeneas2019":
Allora la funzione che ho postato (che va studiata sul vincolo [tex]x^2+y^2=1[/tex]) è derivabile in tutto R^2 tranne che sull'asse y (dove non esiste la derivata parziale rispetto a x) e sull'asse x (dove non esiste la derivata parziale rispetto a y). Di conseguenza, non essendo soddisfatta la condizione necessaria di differenziabilità, sugli assi non è neanche differenziabile. Fin qui è giusto?
!Per capirlo sei ricorso alla definizione di derivata parziale e/o hai osservato che,nei punti interni ai quadranti,
si ha $f_x(a,b)=|y|sig$$n|x|$ e $f_y(a,b)=cdots$?
Solo mia curiosità,comunque,tranquillo/a!
Per il secondo quesito cosa hai fatto?
A me pare ci sia una sostituzione di coordinate che a momenti pulsa e ti prega d'accenderla..
Saluti dal web.
Ah ho capito! Pongo x=cost e y=sint e lo tratto come un problema di estremi liberi? E io che mi ostinavo a cercare di usare la lagrangiana...
P.S.: comunque ho osservato che la funzione segno non è definita in zero.
P.S.: comunque ho osservato che la funzione segno non è definita in zero.
Mi sà che ci siamo su tutto,compresi in fondo pure i post scriptum 
;
anche se io preferirei la definizione,
perchè consente di comprendere quell'esistenza di derivate parziali e differenziabilità in un punto importante,
che dovevi "sospettare" proprio per quanto hai detto sul segno:
quest'ultimo punto,comunque,non inficia il resto dell'esercizio..
Saluti dal web.
;anche se io preferirei la definizione,
perchè consente di comprendere quell'esistenza di derivate parziali e differenziabilità in un punto importante,
che dovevi "sospettare" proprio per quanto hai detto sul segno:
quest'ultimo punto,comunque,non inficia il resto dell'esercizio..
Saluti dal web.
Grazie mille!
Un'ultima cosa: se il vincolo fosse stato una equazione g(x,y)=b, g(x,y) con gradiente nullo per una coppia (x*,y*) tale che g(x*,y*)=b (ora non mi viene in mente una funzione di questo tipo...), come ti saresti comportato?
Un'ultima cosa: se il vincolo fosse stato una equazione g(x,y)=b, g(x,y) con gradiente nullo per una coppia (x*,y*) tale che g(x*,y*)=b (ora non mi viene in mente una funzione di questo tipo...), come ti saresti comportato?
C'è il metodo dei moltiplicatori di Lagrange,per la classe di problemi che hai evidenziato:
se ancora non ci sei arrivato/a,a breve lo farai..
Saluti dal web.
se ancora non ci sei arrivato/a,a breve lo farai..
Saluti dal web.
Proprio perché ci sono arrivato ho questo dubbio. Infatti il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si basa sul fatto che il gradiente della f da studiare e quello della g che fa da vincolo sono paralleli cioè: [tex]\nabla f(x_0,y_0)=\lambda_0\nabla g(x_0,y_0)[/tex]; ma se gradiente di g è zero non si può applicare... quindi che si fa?
Vediamo di fare un pò chiarezza,allora
(chiamerò $g_1$ il tuo vincolo e $g=g_1-b$ il mio):
a ma pare d'aver capito che il tuo blocco stà nella consapevolezza della proprietà secondo la quale,
se i due gradienti fossero entrambi non nulli,essi saranno certo paralleli in un punto d'estremo vincolato..
Questo fatto è certamente vero,ma mi chiedo come possa andare in contrasto col fatto che,
indipentemente dall'essere o meno $nablag(x,y)=(0,0)$ per qualche (x,y) dell'aperto A
(la sola cosa indispensabile per applicare il metodo in questione è $f,g$$inC^1(A)$,
che tra l'altro assicura come la curva vincolante sia regolare..),
il metodo di Lagrange si basa "solo" sulla ricerca dei punti critici della funz. parametrica di due variabili reali
$h(x,y)=f(x,y)+lambdag(x,y)$(1);
mi sembra infatti che,se capitasse il caso da te messo in evidenza,
sarebbero solo conti in meno nel sistema associato alla (1) ed al vincolo g=0:
mi sfugge qualcosa?
Insomma,per sintesi:
se il tuo punto $(x_0,y_0)$ annullasse il vincolo ed il suo gradiente,oltre a quello di f(e dunque fosse critico per h..),
cosa t'impedisce di pensare che possa esser estremante per f sotto il vincolo g=0?
Certo non la proposizione richiamata inizialmente,direi:
ma fammi sapere,in ogni caso.
Saluti dal web.
P.S.Mi stà venendo il terribile dubbio che cercavi un vincolo a gradiente nullo in tutto A;
in tal caso,con le continuità richieste,sarebbero "buone" solo le funzioni costanti,
ed il problema della ricerca di punti estremanti sotto un tal vincolo apparirebbe puramente accademico:
non servirebbe scomodare il metodo dei moltiplicatori per rispondervi..
(chiamerò $g_1$ il tuo vincolo e $g=g_1-b$ il mio):
a ma pare d'aver capito che il tuo blocco stà nella consapevolezza della proprietà secondo la quale,
se i due gradienti fossero entrambi non nulli,essi saranno certo paralleli in un punto d'estremo vincolato..
Questo fatto è certamente vero,ma mi chiedo come possa andare in contrasto col fatto che,
indipentemente dall'essere o meno $nablag(x,y)=(0,0)$ per qualche (x,y) dell'aperto A
(la sola cosa indispensabile per applicare il metodo in questione è $f,g$$inC^1(A)$,
che tra l'altro assicura come la curva vincolante sia regolare..),
il metodo di Lagrange si basa "solo" sulla ricerca dei punti critici della funz. parametrica di due variabili reali
$h(x,y)=f(x,y)+lambdag(x,y)$(1);
mi sembra infatti che,se capitasse il caso da te messo in evidenza,
sarebbero solo conti in meno nel sistema associato alla (1) ed al vincolo g=0:
mi sfugge qualcosa?
Insomma,per sintesi:
se il tuo punto $(x_0,y_0)$ annullasse il vincolo ed il suo gradiente,oltre a quello di f(e dunque fosse critico per h..),
cosa t'impedisce di pensare che possa esser estremante per f sotto il vincolo g=0?
Certo non la proposizione richiamata inizialmente,direi:
ma fammi sapere,in ogni caso.
Saluti dal web.
P.S.Mi stà venendo il terribile dubbio che cercavi un vincolo a gradiente nullo in tutto A;
in tal caso,con le continuità richieste,sarebbero "buone" solo le funzioni costanti,
ed il problema della ricerca di punti estremanti sotto un tal vincolo apparirebbe puramente accademico:
non servirebbe scomodare il metodo dei moltiplicatori per rispondervi..
Il mio problema nasce dal fatto che la mia prof di analisi ripete sempre che, prima di applicare il metodo di Lagrange, bisogna ricercare i punti in cui il gradiente della mia g si annulla e poi vedere se questi appartengono alla tua g (ovvero che appartengono all'insieme di livello b della mia g): in caso affermativo, lei dice che bisogna "studiarli a parte", senza mai specificare come si faccia.
Ma non è che usa il cosidetto "metodo del gradiente ridotto",
ovvero và a risolvere il sistema ${((f_x)/(f_y)=(g_x)/(g_y)),(g=0):}$?
Se fosse così ne riparleremo a breve;
avrebbe ovviamente motivo di fare quel controllo,in tal caso,
e con la parole "studiare a parte" direi che intende di provare,per sostituzione diretta,
che quei punti stazionari di g annullano pure g stessa e $nablaf$:
ma potrebbe comunque risparmiarsi questa trafila ricorrendo al classico metodo dei moltiplicatori con le tre equazioni in x,y e $lambda$.
Saluti dal web.
ovvero và a risolvere il sistema ${((f_x)/(f_y)=(g_x)/(g_y)),(g=0):}$?
Se fosse così ne riparleremo a breve;
avrebbe ovviamente motivo di fare quel controllo,in tal caso,
e con la parole "studiare a parte" direi che intende di provare,per sostituzione diretta,
che quei punti stazionari di g annullano pure g stessa e $nablaf$:
ma potrebbe comunque risparmiarsi questa trafila ricorrendo al classico metodo dei moltiplicatori con le tre equazioni in x,y e $lambda$.
Saluti dal web.
No, mai sentito parlare di quel metodo.
Io credo c'entri il fatto che, dato che il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si basa sul teorema di Dini, che richiede nelle sue ipotesi che il gradiente della funzione non si annulli, esso non si può utilizzare in questi punti.
Io credo c'entri il fatto che, dato che il metodo dei moltiplicatori di Lagrange si basa sul teorema di Dini, che richiede nelle sue ipotesi che il gradiente della funzione non si annulli, esso non si può utilizzare in questi punti.
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