Dubbio su primitive
Salve a tutti! Stavo ripassando la teoria dell'integrazione e mi è venuto un dubbio riguardo alle funzioni dotate o meno di primitiva. Consideriamo:
$H(x)={(1, if x>0),(0, if x<0):}$
... si è proprio lei ma non voglio coinvolgere le distribuzioni per cui la definisco come funzione continua a tratti.
Questa funzione non ha primitiva poiché ha una discontinuità di prima specie in 0. Come mai molti (Wikipedia inclusa) insistono sul fatto che la sua primitiva è
$R(x)={(x, if x>0),(0, if x<0):}$
se la primitiva non c'è?
Ho visto anche cercare separatamente le primitive dei due tratti e poi raccordare imponendo la continuità in 0 ovvero:
$R(x)={(x+c_1, if x>0),(c_2, if x<0):}$ e quindi imponendo $c_1=c_2$ (continuità in 0) si ottiene la primitiva di cui sopra.
Sicuramente mi sfugge qualcosa ma non riesco a capire cosa.
$H(x)={(1, if x>0),(0, if x<0):}$
... si è proprio lei ma non voglio coinvolgere le distribuzioni per cui la definisco come funzione continua a tratti.
Questa funzione non ha primitiva poiché ha una discontinuità di prima specie in 0. Come mai molti (Wikipedia inclusa) insistono sul fatto che la sua primitiva è
$R(x)={(x, if x>0),(0, if x<0):}$
se la primitiva non c'è?
Ho visto anche cercare separatamente le primitive dei due tratti e poi raccordare imponendo la continuità in 0 ovvero:
$R(x)={(x+c_1, if x>0),(c_2, if x<0):}$ e quindi imponendo $c_1=c_2$ (continuità in 0) si ottiene la primitiva di cui sopra.
Sicuramente mi sfugge qualcosa ma non riesco a capire cosa.
Risposte
Quella funzione è continua su tutto $RRsetminus{0}$
Tutto dipende, come al solito, dalle definizioni.
Usualmente, la nozione di primitiva è definita come segue:
cosicché il fatto che l’insieme di definizione delle due funzioni sia un intervallo non degenere è parte integrante della nozione di primitiva.[nota]Ciò si giustifica a posteriori, poiché solo in questo modo riesce valido, ad esempio, il Teorema di Unicità delle Primitive a meno di una Costante Additiva.[/nota]
Ne consegue, con questa definizione, che non ha alcun senso parlare di primitive in $RR\setminus \{0\}$, poiché tale insieme non è un intervallo.
Usualmente, la nozione di primitiva è definita come segue:
Siano $I$ un intervallo non degenere ed $f:I -> RR$.
Una funzione $F:I -> RR$ si chiama primitiva di $f$ in $I$ se e solo se $F$ è derivabile nell’interno di $I$ e se risulta:
\[
F^\prime (x) = f(x)
\]
in ogni punto interno ad $I$.
cosicché il fatto che l’insieme di definizione delle due funzioni sia un intervallo non degenere è parte integrante della nozione di primitiva.[nota]Ciò si giustifica a posteriori, poiché solo in questo modo riesce valido, ad esempio, il Teorema di Unicità delle Primitive a meno di una Costante Additiva.[/nota]
Ne consegue, con questa definizione, che non ha alcun senso parlare di primitive in $RR\setminus \{0\}$, poiché tale insieme non è un intervallo.
@gugo
potrebbe estendersi il concetto di primitiva di una funzione su una unione finita di intervalli se in ogni intervallo la funzione ammette primitiva e tutto avrebbe senso.
potrebbe estendersi il concetto di primitiva di una funzione su una unione finita di intervalli se in ogni intervallo la funzione ammette primitiva e tutto avrebbe senso.
Allora estendiamo la definizione e in questo caso avrebbe senso $R(x)$ come primitiva di $H(x)$. Resta però un problema: se calcolo la primitiva nei due intervalli ottengo
$R_2(x)={(x+c_1,if x>1),(c_2,if x<0):}$
che dipende da due costanti e rappresenta tutte le primitive di $H(x)$.
Se impongo la condizione di raccordo (continuità in $x_0=0$) ottengo
$R(x)=c+{(x,if x>1),(0,if x<0):}$
che ancora rappresenta una famiglia di primitive di $H(x)$ e che viene presa come primitiva "ufficiale".
Ciò che non riesco a giustificare è il perché imponiamo il raccordo in 0.
$R_2(x)={(x+c_1,if x>1),(c_2,if x<0):}$
che dipende da due costanti e rappresenta tutte le primitive di $H(x)$.
Se impongo la condizione di raccordo (continuità in $x_0=0$) ottengo
$R(x)=c+{(x,if x>1),(0,if x<0):}$
che ancora rappresenta una famiglia di primitive di $H(x)$ e che viene presa come primitiva "ufficiale".
Ciò che non riesco a giustificare è il perché imponiamo il raccordo in 0.
1. secondo la definizione classica(data da gugo) non ha senso porsi il problema di trovare quella primitiva
2. dall'altro lato appena definisci $H$ in $0$ ottieni una funzione discontinua e quindi che non ammette primitiva.
non c'è via di fuga.
2. dall'altro lato appena definisci $H$ in $0$ ottieni una funzione discontinua e quindi che non ammette primitiva.
non c'è via di fuga.
Su questo concordo pienamente; il problema nasce dal fatto che in molti calcolano la primitiva di $H(x)$ e impongono il raccordo come condizione necessaria per poter determinare la primitiva corretta.
Un caso simile è questo: consideriamo l'equazione differenziale $y''(x)+\alpha y'(x)+\beta y(x)=H(x)$; $H(x)$ non è continua per cui i teoremi classici delle eq. diff. non valgono. Eppure potremmo separarla in due equazioni:
$y''(x)+\alpha y'(x)+\beta y(x)=1$ per $x>0$ e $y''(x)+\alpha y'(x)+\beta y(x)=0$ per $x<0$ ottenendo due soluzioni dipendenti da 4 costanti che poi vengono ridotte a 2 imponendo la continuità di $y(x)$ e $y'(x)$ in 0.
È corretto tutto questo? L'ho visto in parecchie dispense di Analisi. Anche qui la stessa domanda di prima: in base a quale criterio raccordo le due soluzioni imponendo la continuità di $y(x)$ e $y'(x)$ se $H(x)$ non è continua?
Un caso simile è questo: consideriamo l'equazione differenziale $y''(x)+\alpha y'(x)+\beta y(x)=H(x)$; $H(x)$ non è continua per cui i teoremi classici delle eq. diff. non valgono. Eppure potremmo separarla in due equazioni:
$y''(x)+\alpha y'(x)+\beta y(x)=1$ per $x>0$ e $y''(x)+\alpha y'(x)+\beta y(x)=0$ per $x<0$ ottenendo due soluzioni dipendenti da 4 costanti che poi vengono ridotte a 2 imponendo la continuità di $y(x)$ e $y'(x)$ in 0.
È corretto tutto questo? L'ho visto in parecchie dispense di Analisi. Anche qui la stessa domanda di prima: in base a quale criterio raccordo le due soluzioni imponendo la continuità di $y(x)$ e $y'(x)$ se $H(x)$ non è continua?
"anto_zoolander":
2. dall'altro lato appena definisci $H$ in $0$ ottieni una funzione discontinua e quindi che non ammette primitiva.
Falso.
Esistono funzioni discontinue dotate di primitive: ad esempio la:
\[
f(x) := \begin{cases} 2x \sin (1/x) - \cos (1/x) &\text{, se } x \neq 0\\ 0 &\text{, se } x=0 \end{cases}
\]
che è discontinua in $0$ ha primitiva:
\[
F (x) := x^2\ \sin (1/x)
\]
in $RR$.
Per quanto riguarda la possibile estensione del concetto di primitiva, si può fare... Ma si perde irrimediabilmente il Teorema di Unicità a meno di una Costante Additiva.
Infatti, ad esempio, non è vero che tutte le primitive di $1/x$ in $RR\setminus \{0\}$ sono le funzioni del tipo $log |x| + C$.
@gugo
Intendevo in questo particolare caso con una discontinuità di prima specie.
Se non erro diventa unica a meno di $c_1,...,c_n$ costanti definite negli $I_1,...,I_n$ intervalli disgiunti.
Intendevo in questo particolare caso con una discontinuità di prima specie.
Se non erro diventa unica a meno di $c_1,...,c_n$ costanti definite negli $I_1,...,I_n$ intervalli disgiunti.
"onanista":
Su questo concordo pienamente; il problema nasce dal fatto che in molti calcolano la primitiva di $H(x)$ e impongono il raccordo come condizione necessaria per poter determinare la primitiva corretta.
Un caso simile è questo: consideriamo l'equazione differenziale $y''(x)+\alpha y'(x)+\beta y(x)=H(x)$; $H(x)$ non è continua per cui i teoremi classici delle eq. diff. non valgono. Eppure potremmo separarla in due equazioni:
$y''(x)+\alpha y'(x)+\beta y(x)=1$ per $x>0$ e $y''(x)+\alpha y'(x)+\beta y(x)=0$ per $x<0$ ottenendo due soluzioni dipendenti da 4 costanti che poi vengono ridotte a 2 imponendo la continuità di $y(x)$ e $y'(x)$ in 0.
È corretto tutto questo? L'ho visto in parecchie dispense di Analisi. Anche qui la stessa domanda di prima: in base a quale criterio raccordo le due soluzioni imponendo la continuità di $y(x)$ e $y'(x)$ se $H(x)$ non è continua?
Anche qui, è questione di definizione.
Cos’è una soluzione classica di una EDO?
Di solito è una funzione definita su un intervallo e che soddisfa in senso classico l’equazione in tale intervallo.
La teoria classica delle EDO ti dice che se l’equazione si può mettere in forma normale col secondo membro continuo e lipschtziano rispetto alle variabili adeguate e se alla EDO sono accoppiate condizioni “sensate”, allora la EDO ha soluzione classica.
Dopodiché, se tutto funziona bene, una soluzione “sensata” esiste anche in casi che esulano dalla teoria classica e per questo vengono introdotte varie nozioni di soluzione generalizzata (soluzione debole, soluzione distribuzionale, etc...).
Fin qui ci sono. Alla fine quello che mi chiedo è: come primitiva della funzione di Heaviside (gradino unitario) è corretto prendere
$R(x)={(x,if x>1),(0,if x<0):}+c$
oppure bisognerebbe prendere
$R_2(x)={(x+c_1,if x>1),(c_2,if x<0):} $ ?
$R(x)$ deriva da $R_2(x)$ imponendo la continuità. Il mio dubbio iniziale era questo.
$R(x)={(x,if x>1),(0,if x<0):}+c$
oppure bisognerebbe prendere
$R_2(x)={(x+c_1,if x>1),(c_2,if x<0):} $ ?
$R(x)$ deriva da $R_2(x)$ imponendo la continuità. Il mio dubbio iniziale era questo.
Quella funzione non ha primitiva!
Né può averla, perché non gode della proprietà dei valori intermedi ed è noto che ogni funzione che sia una derivata gode di tale proprietà (questo è un teorema di Darboux).
Poi, se si cambia prospettiva e si comincia a riguardare $H$ come una distribuzione, si vede che esiste una distribuzione (che poi è proprio quella individuata dalla funzione $R$, la quale usualmente si chiama "rampa") la cui derivata distribuzionale coincide con $H$.
Ma facendo così stai uscendo dall'Analisi classica e stai entrando in quella moderna.
Né può averla, perché non gode della proprietà dei valori intermedi ed è noto che ogni funzione che sia una derivata gode di tale proprietà (questo è un teorema di Darboux).
Poi, se si cambia prospettiva e si comincia a riguardare $H$ come una distribuzione, si vede che esiste una distribuzione (che poi è proprio quella individuata dalla funzione $R$, la quale usualmente si chiama "rampa") la cui derivata distribuzionale coincide con $H$.
Ma facendo così stai uscendo dall'Analisi classica e stai entrando in quella moderna.
Ora è più chiaro. È tutta una questione di terminologia. In realtà se parliamo di primitiva di $H(x)$ siamo inevitabilmente nel campo delle distribuzioni.
Ne segue che per poter trattare $H(x)$ in una EDO occorre vederla come distribuzione e non come una funzione a tratti. In questo caso, nella EDO da me indicata, è semplice cercare un integrale particolare come distribuzione della forma $f(x)H(x)$ e tutto segue correttamente.
Ne segue che per poter trattare $H(x)$ in una EDO occorre vederla come distribuzione e non come una funzione a tratti. In questo caso, nella EDO da me indicata, è semplice cercare un integrale particolare come distribuzione della forma $f(x)H(x)$ e tutto segue correttamente.
x gugo82
Potresti farmi vedere come lo dimostri, ovvero come ricavi la rampa partendo dalla definizione di Heaviside? (Se definisco la rampa e derivo è facile trovare H).
Poi, se si cambia prospettiva e si comincia a riguardare H come una distribuzione, si vede che esiste una distribuzione (che poi è proprio quella individuata dalla funzione R, la quale usualmente si chiama "rampa") la cui derivata distribuzionale coincide con H.
Potresti farmi vedere come lo dimostri, ovvero come ricavi la rampa partendo dalla definizione di Heaviside? (Se definisco la rampa e derivo è facile trovare H).
"onanista":Poi, se si cambia prospettiva e si comincia a riguardare H come una distribuzione, si vede che esiste una distribuzione (che poi è proprio quella individuata dalla funzione R, la quale usualmente si chiama "rampa") la cui derivata distribuzionale coincide con H.
Potresti farmi vedere come lo dimostri, ovvero come ricavi la rampa partendo dalla definizione di Heaviside? (Se definisco la rampa e derivo è facile trovare H).
Beh, scusa, una candidata ad essere "primitiva" di $H$ c'è l'hai già, quindi basta verificare che tutto funzioni bene a livello distribuzionale.
Ma in realtà non serve nemmeno una dimostrazione, perché un teorema molto generale ti assicura che se una funzione $f$ è continua e $C^\infty$ a tratti (come la rampa), la distribuzione $F$ da essa individuata ha come derivata distribuzionale la distribuzione individuata dalla funzione che coincide con la derivata classica $f^\prime$ lì dove essa è definita.
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