Dubbio su piani definiti da una forma differenziale
Salve, leggendo il libro di V.Arnold "Lectures on partial differential equations" viene proposto questo esercizio che non riesco a risolvere.
" In uno spazio con coordinate $x$,$y$, e $z$ si consideri il campo di piani dato dall'equazione $dz=ydx$ (Questa fornisce un'equazione lineare per le coordinate del vettore tangente ad ogni punto, e tale equazione determina un piano).
Si disegni questo campo di piani e si provi che non ha superficie integrale, ovvero nessuna superficie il cui piano tangente in ogni punto coincida con il campo di piani".
Applicando la forma ad un vettore $\mathbf{X}_P= X\frac{\partial}{\partial x})_P + Y\frac{\partial}{\partial y})_P+ z\frac{\partial}{\partial z})_P$ dello spazio tangente $T_P\mathbb{R}^3$ in un punto $P\in \mathbb{R}^3$, ottengo questa relazione tra le componenti
\[ Z = yX \]
Ora, ammesso che questa sia l'equazione lineare giusta specificata nel testo, non mi è chiaro in che senso questa determini un piano (perchè una relazione definita da un'applicazione puntuale dovrebbe determinare un piano in tutto $\mathbb{R}^3?$ E quale sarebbe questo piano nella forma $ax+by+cz+d=0$ ?)
(Scusate ma è la prima volta che mi ciento in questa interpretazione geometrica delle forme differenziali...) Grazie.
" In uno spazio con coordinate $x$,$y$, e $z$ si consideri il campo di piani dato dall'equazione $dz=ydx$ (Questa fornisce un'equazione lineare per le coordinate del vettore tangente ad ogni punto, e tale equazione determina un piano).
Si disegni questo campo di piani e si provi che non ha superficie integrale, ovvero nessuna superficie il cui piano tangente in ogni punto coincida con il campo di piani".
Applicando la forma ad un vettore $\mathbf{X}_P= X\frac{\partial}{\partial x})_P + Y\frac{\partial}{\partial y})_P+ z\frac{\partial}{\partial z})_P$ dello spazio tangente $T_P\mathbb{R}^3$ in un punto $P\in \mathbb{R}^3$, ottengo questa relazione tra le componenti
\[ Z = yX \]
Ora, ammesso che questa sia l'equazione lineare giusta specificata nel testo, non mi è chiaro in che senso questa determini un piano (perchè una relazione definita da un'applicazione puntuale dovrebbe determinare un piano in tutto $\mathbb{R}^3?$ E quale sarebbe questo piano nella forma $ax+by+cz+d=0$ ?)
(Scusate ma è la prima volta che mi ciento in questa interpretazione geometrica delle forme differenziali...) Grazie.
Risposte
"Campo di piani" (su $\mathbb R^3$) significa: a ogni punto $P$ di $\mathbb R^3$ si assegna un sottospazio bidimensionale di $T_P\mathbb R^3$. Abusando della piattezza di $\mathbb R^3$, si può anche dire che a $P$ si associa il piano di $\mathbb R^3$ passante per $P$ che soddisfa una certa condizione lineare, che in questo caso è $Z=yX$ dove $y$ è la seconda coordinata di $P$.
Per esempio in $P=(0,0,0)$ il piano assegnato è $z=0$, in $P=(0,1,1)$ è $z=x+1$ e così via.
Per esempio in $P=(0,0,0)$ il piano assegnato è $z=0$, in $P=(0,1,1)$ è $z=x+1$ e così via.
Io direi, giusto per completare la risposta corretta di coffee, che l'equazione del piano nel punto $P=(p_x, p_y, p_z)$ è
\[
Z-p_z= p_y(X-p_x).\]
\[
Z-p_z= p_y(X-p_x).\]
Questo è un bell'esercizio, ci ho pensato un pochino ma non ho trovato la soluzione. Sospetto che, gira e volta, alla fine dei conti il problema sarà che la forma differenziale data non è chiusa.
@Gianluca: Se hai qualche idea, posta pure, sono curioso.
@Gianluca: Se hai qualche idea, posta pure, sono curioso.
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