Dubbio su passaggio di un esercizio.

[tino20-votailprof]

Salve svolgendo il seguente esercizio:

"Facendo uso della trasformazione di Laplace risolvere in [0,+∞[ il problema

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
y'+\omega y=(-1)^{[t]}\\
y(0)=0

\end{matrix}\right. \)
"

ho trovato nella soluzione il seguente passaggio.

\(\displaystyle Y=\frac{1}{s(s+\omega) }\left \left ( 1-\frac{2e^{-s}}{1+e^{-s}} \right ) \)\(\displaystyle )=\frac{1}{s(s+\omega) }\left \left ( 1-2\sum_{0}^{\infty } (-1)^{n}e^{-(n+1)s}\right ) \)

potreste spiegarmi come si arriva alla serie?

[Noisemaker]

"tino20":Salve svolgendo il seguente esercizio:

"Facendo uso della trasformazione di Laplace risolvere in [0,+∞[ il problema

\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
y'+\omega y=(-1)^{[t]}\\
y(0)=0

\end{matrix}\right. \)
"

ho trovato nella soluzione il seguente passaggio.

\(\displaystyle Y=\frac{1}{s(s+\omega) } \left ( 1-\frac{2e^{-s}}{1+e^{-s}} \right ) =\frac{1}{s(s+\omega) } \left ( 1-2\sum_{0}^{\infty } (-1)^{n}e^{-(n+1)s}\right ) \)

potreste spiegarmi come si arriva alla serie?

[theras]

Ciao,Tino:
osserva che $ -2 sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n e^(-(n+1)s)= -2 sum_(n=0)^(+oo)[(-1)^n(e^(-s))^n]e^(-s)= -2e^(-s)sum_(n=0)^(+oo)(-e^(-s))^n=..$:
saluti dal web.

[tino20-votailprof]

Caspita! Una "banale" serie geometrica! Non ci avevo fatto assolutamente caso! Grazie mille per la dritta!