Dubbio su passaggi per soluzione equazione differenziale
Allora, vi chiedo solo di dirmi se c'è qualche errore di logica o calcolo in quello che ho fatto.
La formula risolutiva dell'equazione differenziale $y'=(x*y)/(1+x^2) +4x , y_{(0)}=-5$, dopo aver calcolato $int_0^xt/(1+t^2)dt$ come $1/2*log(1+x^2)$, risulta essere
$y=e^{1/2*log(1+x^2)}*[-5-int_0^xe^{-1/2*log(1+t^2)}*4tdt]$
Io l'ho calcolata come $y=e^{log(sqrt(1+x^2))}*[-5-int_0^xe^{-log(sqrt(1+t^2))}*4tdt]$
$int_0^xe^{-log(sqrt(1+t^2))}*4tdt$ non volendo calcolarlo per parti (ancora non ne sono capace) l'ho ridotto nella forma nota
$1/2*4*int_0^x(1+t^2)^{-1/2}*2tdt$ in modo da applicare l'integrazione $int(f_{(x)})^\alpha*f'_{(x)}=((f_{(x)})^{\alpha+1})/(\alpha+1)$ risultandomi così
$2*[((1+t^2)^{1/2})/(1/2)]_0^x$ che, a conti fatti, mi esce
$4*(1+x^2)^{1/2}-4$ che io ho, non so se giustamente, semplificato in
$(1+x^2)^{1/2}-1$
Mettendo il risultato nella formula iniziale, ed applicando la proprietà di $e$ e delle potenze, mi risulta
$y=log(1+x^2)^{1/2}*[-5-((1+x^2)^{1/2}-1)]$ che a conti fatti mi risulta
$y=-6*(1+x^2)^{1/2}-(1+x^2)$
E' giusto quello che ho fatto?
Ci sono errori, specialmente nella semplificazione dei 4, oppure dovevo procedere per parti (speriamo di no)?
Grazie
La formula risolutiva dell'equazione differenziale $y'=(x*y)/(1+x^2) +4x , y_{(0)}=-5$, dopo aver calcolato $int_0^xt/(1+t^2)dt$ come $1/2*log(1+x^2)$, risulta essere
$y=e^{1/2*log(1+x^2)}*[-5-int_0^xe^{-1/2*log(1+t^2)}*4tdt]$
Io l'ho calcolata come $y=e^{log(sqrt(1+x^2))}*[-5-int_0^xe^{-log(sqrt(1+t^2))}*4tdt]$
$int_0^xe^{-log(sqrt(1+t^2))}*4tdt$ non volendo calcolarlo per parti (ancora non ne sono capace) l'ho ridotto nella forma nota
$1/2*4*int_0^x(1+t^2)^{-1/2}*2tdt$ in modo da applicare l'integrazione $int(f_{(x)})^\alpha*f'_{(x)}=((f_{(x)})^{\alpha+1})/(\alpha+1)$ risultandomi così
$2*[((1+t^2)^{1/2})/(1/2)]_0^x$ che, a conti fatti, mi esce
$4*(1+x^2)^{1/2}-4$ che io ho, non so se giustamente, semplificato in
$(1+x^2)^{1/2}-1$
Mettendo il risultato nella formula iniziale, ed applicando la proprietà di $e$ e delle potenze, mi risulta
$y=log(1+x^2)^{1/2}*[-5-((1+x^2)^{1/2}-1)]$ che a conti fatti mi risulta
$y=-6*(1+x^2)^{1/2}-(1+x^2)$
E' giusto quello che ho fatto?
Ci sono errori, specialmente nella semplificazione dei 4, oppure dovevo procedere per parti (speriamo di no)?
Grazie
Risposte
"Wolf_Teenay":
...che, a conti fatti, mi esce
$4*(1+x^2)^{1/2}-4$ che io ho, non so se giustamente, semplificato in
$(1+x^2)^{1/2}-1$
semplificato con che cosa? Comunque $4*(1+x^2)^{1/2}-4$ è giusto
a me esce
$y=-4(x^2+1)-sqrt(x^2+1)$
che ne dici ?
$y=-4(x^2+1)-sqrt(x^2+1)$
che ne dici ?
Che è probabile che io abbia fatto qualche errore, ma avevo provato a rifarlo, anche senza la "semplificazione" del 4 (l'avevo semplificato perchè ho visto che entrambe i membri erano moltiplicati per 4, quindi li ho divisi), ma non mi torna il tuo risultato. Se ne hai voglia, puoi scrivermi almeno i passaggi principali? Altrimenti mi va bene pure una scansione del foglio via posta elettronica/messenger 
Cmq ci riprovo a rifarlo di nuovo, sapendo del tuo risultato, magari faccio caso ad altre cose...
Cmq ci riprovo a rifarlo di nuovo, sapendo del tuo risultato, magari faccio caso ad altre cose...
Mi viene come a te, ma perchè, visto il meno davanti all'integrale di partenza, ho cambiato i segni a $4*(1+x^2)^{1/2}-4$. Questa cosa (il cambio dei segni) è corretta e sempre valida?
"Wolf_Teenay":
Questa cosa (il cambio dei segni) è corretta e sempre valida?
Se la domanda è questa:
$ -intf'(x)dx= - f(x)+c$
la risposta è sì. L'integrale del prodotto di una costante per una funzione è uguale alla costante per l'integrale della funz.
Io intendevo, a scanso di equiovoci, che, se la formula è tipo questa
$y=1-int_0^x(1+t^2)^{-1/2}*2tdt$
e il risultato di
$int_0^x(1+t^2)^{-1/2}*2tdt$ fosse di $4*(1+x^2)^{1/2}-4$
quando vado ad inserire il risultato nell'integrale scrivo
$y=1-(4*(1+x^2)^{1/2}-4)$
che, tolte le parentesi, diventa
$y=1-4*(1+x^2)^{1/2}+4$
E' giusto pure questo, oppure ho detto una boiata? Perchè se ho detto una boiata, allora non so come ritorni il risultato di
$y=-4*(1+x^2)+(1+x^2)^{1/2}$
$y=1-int_0^x(1+t^2)^{-1/2}*2tdt$
e il risultato di
$int_0^x(1+t^2)^{-1/2}*2tdt$ fosse di $4*(1+x^2)^{1/2}-4$
quando vado ad inserire il risultato nell'integrale scrivo
$y=1-(4*(1+x^2)^{1/2}-4)$
che, tolte le parentesi, diventa
$y=1-4*(1+x^2)^{1/2}+4$
E' giusto pure questo, oppure ho detto una boiata? Perchè se ho detto una boiata, allora non so come ritorni il risultato di
$y=-4*(1+x^2)+(1+x^2)^{1/2}$
Anche per oggi questa parte l'ho risolta. Ai prossimi dubbi :p
Piero grazie di tutto.
Piero grazie di tutto.
ciao e abbidubbi 
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