Dubbio su orientazione indotta da parametrizzazione
Mi trovo con un dubbio legato allo studio odierno del flusso di un campo vettoriale attraverso un sostegno di una cerca superficie.
Il mio dubbio è nato in un esercizio ma in realtà potrei estenderlo a tutti i tipi di esercizi.
So che il verso del vettore normale è arbitrario, infatti nel calcolo di tale vettore rientra un prodotto vettoriale che è anticommutativo, dunque a seconda di come parametrizzo mi trovo due segni discordi, esempio:
Avevo tale superficie $S={(x,y,z)|x^2+y^2<=1, 0<=z<=1}$ $(u,v)\in[0,2pi]xx[0,1]$
viene naturale la paramtrizzazione del cilindro:
$r(u,v)=(cosu,sinu,v)$
Il problema ora è se scelgo $r(u,v)$ oppure $r(v,u)$
perché se faccio $r_uxxr_v$ è diverso da $r_vxxr_u$ e dipende da quale parametro ho scelto come "primo"
Ora troverei in un caso:
$n=(cosu,sinu,0)$ oppure $n'=(-cosu,-sinu,0)$
Ma come faccio a capire quale entra è quale esce?
Grazie
Il mio dubbio è nato in un esercizio ma in realtà potrei estenderlo a tutti i tipi di esercizi.
So che il verso del vettore normale è arbitrario, infatti nel calcolo di tale vettore rientra un prodotto vettoriale che è anticommutativo, dunque a seconda di come parametrizzo mi trovo due segni discordi, esempio:
Avevo tale superficie $S={(x,y,z)|x^2+y^2<=1, 0<=z<=1}$ $(u,v)\in[0,2pi]xx[0,1]$
viene naturale la paramtrizzazione del cilindro:
$r(u,v)=(cosu,sinu,v)$
Il problema ora è se scelgo $r(u,v)$ oppure $r(v,u)$
perché se faccio $r_uxxr_v$ è diverso da $r_vxxr_u$ e dipende da quale parametro ho scelto come "primo"
Ora troverei in un caso:
$n=(cosu,sinu,0)$ oppure $n'=(-cosu,-sinu,0)$
Ma come faccio a capire quale entra è quale esce?
Grazie
Risposte
"yessa":
Ma come faccio a capire quale entra è quale esce?
Graficamente. La matematica non può dirtelo, perché come hai giustamente notato si tratta solo di una convenzione.
Quindi in sostanza nell'esempio portato:
sostituisco volta per volta u e v (v in tal caso non c'è esplicitamente nel vettore normale) e vedo come punta?
Il fatto è che in questo caso è un cilindro e si vede mettendo un dato u e v nella parametrizzazione in che punto del cilindro sono e poi disegno il vettore normale n o n' applicato al punto.
ES: $u=pi/2$ capisco che mi trovo sulle y e vedo che $-sin(pi/2)$ (essendo il coseno nullo) punta all'inerno.
Ma se fosse una figura complessa questa tecnica che ho descritto non andrebbe molto bene (metto un u e v e non capisco da r(u,v) che ha un ipotetica forma complessa dove mi trovi). Non capisco se mi sfugge qualcosa.
Grazie per il tuo aiuto.
"yessa":
$n=(cosu,sinu,0)$ oppure $n'=(-cosu,-sinu,0)$
sostituisco volta per volta u e v (v in tal caso non c'è esplicitamente nel vettore normale) e vedo come punta?
Il fatto è che in questo caso è un cilindro e si vede mettendo un dato u e v nella parametrizzazione in che punto del cilindro sono e poi disegno il vettore normale n o n' applicato al punto.
ES: $u=pi/2$ capisco che mi trovo sulle y e vedo che $-sin(pi/2)$ (essendo il coseno nullo) punta all'inerno.
Ma se fosse una figura complessa questa tecnica che ho descritto non andrebbe molto bene (metto un u e v e non capisco da r(u,v) che ha un ipotetica forma complessa dove mi trovi). Non capisco se mi sfugge qualcosa.
Grazie per il tuo aiuto.
Ma no, è così che si fa. Quando troverai una figura più complessa, vedremo come fare. Per oggi è andata.
Grazie, ultima domanda su questi fatti studiati 
"Teorema del rotore", bene, la mia domanda è questa:
Mettiamo che parametrizzi la superficie $r(u,v)$ con u e v che vivono in certi intervalli, derivando prima nei confronti di u e poi di v e potrei calcolare direttamente il flusso, però stokes (nella variante rotore) mi aiuta a partto di saper calcolare il trasformato del bordo dei parametri e mi riduco a un "integrale circuitazione"
Ma se io avessi parametrizzato come $r(v,u)$ come dicevamo avrei esattamente il flusso opposto in segno, e se facessi il trasformato del bordo dei parametri in tal caso se calcolassi stokes che segno mi darebbe?
Insomma non capisco se parametrizzando in un modo e usando stokes mi dia sia per $r(v,u)$ che per $r(u,v)$ lo stesso risultato o se me li restituisce invertiti (cioè mi mantiene il segno coerente con la parametrizzazione) integrando lungo i "bordi"
"Teorema del rotore", bene, la mia domanda è questa:
Mettiamo che parametrizzi la superficie $r(u,v)$ con u e v che vivono in certi intervalli, derivando prima nei confronti di u e poi di v e potrei calcolare direttamente il flusso, però stokes (nella variante rotore) mi aiuta a partto di saper calcolare il trasformato del bordo dei parametri e mi riduco a un "integrale circuitazione"
Ma se io avessi parametrizzato come $r(v,u)$ come dicevamo avrei esattamente il flusso opposto in segno, e se facessi il trasformato del bordo dei parametri in tal caso se calcolassi stokes che segno mi darebbe?
Insomma non capisco se parametrizzando in un modo e usando stokes mi dia sia per $r(v,u)$ che per $r(u,v)$ lo stesso risultato o se me li restituisce invertiti (cioè mi mantiene il segno coerente con la parametrizzazione) integrando lungo i "bordi"
Ma si, i segni devono quadrare. Se parametrizzi al contrario, otterrai la circuitazione nel verso opposto, come deve essere. Niente di complicato.
Grazie mille, ora provo qualche esercizio 
Buona idea. Gioca un po' con i versi delle parametrizzazioni, così capisci come cambiano. MathInsight è un sito che ti potrebbe aiutare, a suo tempo mi aiutò molto.
Dopo un giorno di esercizi e qualce dimostrazione mi sembra di sapermi muovere molto meglio, passo per ringraziarti del link. Me lo spulcio.
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