Dubbio su operatore aggiunto in spazio di hilbert
Considerano $L^2(-pi,pi)$ e la base ortonormale completa $e^(i nx)/(sqrt(2pi))$ considero l'operatore lineare T t.c $Te^(i nx)=cosnx$
HO dimostrato che è continuo e che quindi $T sum_(-oo)^(+oo)a_n e^(i nx)=sum_(-oo)^(+oo)Ta_n e^(i nx)$
Devo trovare l'aggiunto, e so che è il T^+ per cui vale $(f,Tg)=(T^+f,g)$
Ora però se considero il prodotto scalare usuale dello spazio di HIlbert $(f,g)= int_(-pi)^(pi) f^** g dx$ mi ritrovo che, al di là di vari fattori 2pigreco di proporzionalità, e sottointesi sempre quelli gli estremi di integrazione ho con f g apparenteneti all' L^2 di cui sopra $int f^** Tgdx= int sum_(-oo)^(+oo)a_n^** e^(-i nx)sum_(-oo)^(+oo)B_n cos nx dx=$per la continuità del prodotto scalare $sum_(-oo)^(+oo) int a_n^** e^(-i nx) sum_(-oo)^(+oo) B_n cos nx dx= sum_(-oo)^(+oo) int a_n^** cos nx sum_(-oo)^(+oo)B_n cosnx dx + sum_(-oo)^(+oo) int -a_n^** i sin nx sum_(-oo)^(+oo) B_n cosnx dx$ e sfruttando l'ortogonalità dei $sin nx$ e i $cos nx$ (nota dalla serie di fourier per cui solo l'integrale tra i coseni con lo stesso argomento danno 1) ottengo $sum_(-oo)^(oo)a_n^** b_n$ Ora questo devo ottenderlo anche tramite $(T^+f,g)$ e mi accorgo che ho due operatori in grado di farmi questo:
$T^+e^(i nx)= cos nx $ e avrei allora che l'operatore di partenza è hermitiano
$T^+e^(i nx)= isin nx$
che non ha senso perchè so che l'aggiunto di un operatore è unico... Cosa non ho capito? cosa sto sbagliando? vi prego aiutatemi
HO dimostrato che è continuo e che quindi $T sum_(-oo)^(+oo)a_n e^(i nx)=sum_(-oo)^(+oo)Ta_n e^(i nx)$
Devo trovare l'aggiunto, e so che è il T^+ per cui vale $(f,Tg)=(T^+f,g)$
Ora però se considero il prodotto scalare usuale dello spazio di HIlbert $(f,g)= int_(-pi)^(pi) f^** g dx$ mi ritrovo che, al di là di vari fattori 2pigreco di proporzionalità, e sottointesi sempre quelli gli estremi di integrazione ho con f g apparenteneti all' L^2 di cui sopra $int f^** Tgdx= int sum_(-oo)^(+oo)a_n^** e^(-i nx)sum_(-oo)^(+oo)B_n cos nx dx=$per la continuità del prodotto scalare $sum_(-oo)^(+oo) int a_n^** e^(-i nx) sum_(-oo)^(+oo) B_n cos nx dx= sum_(-oo)^(+oo) int a_n^** cos nx sum_(-oo)^(+oo)B_n cosnx dx + sum_(-oo)^(+oo) int -a_n^** i sin nx sum_(-oo)^(+oo) B_n cosnx dx$ e sfruttando l'ortogonalità dei $sin nx$ e i $cos nx$ (nota dalla serie di fourier per cui solo l'integrale tra i coseni con lo stesso argomento danno 1) ottengo $sum_(-oo)^(oo)a_n^** b_n$ Ora questo devo ottenderlo anche tramite $(T^+f,g)$ e mi accorgo che ho due operatori in grado di farmi questo:
$T^+e^(i nx)= cos nx $ e avrei allora che l'operatore di partenza è hermitiano
$T^+e^(i nx)= isin nx$
che non ha senso perchè so che l'aggiunto di un operatore è unico... Cosa non ho capito? cosa sto sbagliando? vi prego aiutatemi
Risposte
Ci sono degli errori nelle formule che rendono difficile la lettura. $sum$ si scrive "sum" non "Sum", il seno conviene indicarlo con $sin$ non con $sen$ e metti sempre uno spazio dopo ogni elemento altrimenti il sistema non sa come interpretarlo (esempio: $a_n*isennx$ che dovrebbe essere $a_n * i sin nx$ - \$a_n * i sin nx\$). Prova un po' a correggere
ok fatto utto che fatica ma spero che ora sia più leggibile così qualcuno può aiutarm i:-)
nessuno sa dirmi niente?:-(
Attenzione agli up.
Il regolamento dice:
3.4 Evitare sollecitazioni del tipo "up" per almeno 3 giorni dalla domanda posta: il forum è frequentato e animato da appassionati che non hanno nessun obbligo di risposta.
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ah scusa non ci avevo pensato! ho provato a cancellarli ma non me lo fa fare! cioè nn c'è l'opzione "cancella ", clicco sul tasto "cancella/modifica" però poi quando cancello tutto lo scritto mi dice "devi inserire un testo"
1) Per cancellare un messaggio devi usare il pulsante "cancella", se non lo vedi vuol dire che non puoi più cancellare il messaggio in questione.
2) Non è che abbia capito molto del tuo ragionamento. Per trovare il tuo operatore aggiunto io imporrei la condizione $(e^{i n x}, Te^{i m x})=(T^{**}e^{ i n x}, e^{i m x})$, con le normalizzazioni del caso (il prodotto scalare è definito in modo tale che $(e^{i n x}, e^{i m x})={(1, n=m), (0, "altrimenti"):}$, oppure invece di $e^{i nx}$ considera $\frac{e^{i n x }}{sqrt(2pi)}$).
2) Non è che abbia capito molto del tuo ragionamento. Per trovare il tuo operatore aggiunto io imporrei la condizione $(e^{i n x}, Te^{i m x})=(T^{**}e^{ i n x}, e^{i m x})$, con le normalizzazioni del caso (il prodotto scalare è definito in modo tale che $(e^{i n x}, e^{i m x})={(1, n=m), (0, "altrimenti"):}$, oppure invece di $e^{i nx}$ considera $\frac{e^{i n x }}{sqrt(2pi)}$).
Eh infatti, è quello che ho provato a fare io...cioè ho calcolato $(e^(i nx),Te^(i mx)$, ho visto che fa $sum_(-oo)^(+oo) a^(*)b$ e quest'ultimo l'ho eguagliato a $T^(*)e^(i nx),e^(imx)$, cioè cerco un T* tale che facendo quello mi dia quel risultato lì...il punto è che a me vengono quei due possibili operatori citati prima che potrebbero essere l'aggiunto cercato.
E visto che ciò non ha senso appunto mi chiedevo cosa ho sbagliato.
Quei passaggi che ho scritto all'inizio erano appunto il calcolo di $(e^(i nx),Te^(i mx)$...magari secondo te c'è qualche errore lì?
E visto che ciò non ha senso appunto mi chiedevo cosa ho sbagliato.
Quei passaggi che ho scritto all'inizio erano appunto il calcolo di $(e^(i nx),Te^(i mx)$...magari secondo te c'è qualche errore lì?
Nei passaggi che hai scritto all'inizio c'è sicuramente qualche errore. Intanto mettiamoci d'accordo: $(f, g)=1/(sqrt(2pi)) int_{-pi}^pi f \bar{g}$. Adesso dobbiamo calcolare $y^\star= T^star e^{i n x}$, per fare questo ne determineremo i coefficienti di Fourier:
$\hat{y^\star}(m)=(y^\star, e^{i m x})= ( e^{i n x}, \cos mx)$.
Tutto sta a calcolare quest'ultimo prodotto scalare (così abbiamo evitato il casino di $a_n, b_n$ che probabilmente ti ha fatto confondere nel primo post). Si tratta di calcolare
$1/(sqrt(2pi)) \int_{-pi}^pi (cos nx cos mx + \i sin nx cos mx )"d"x$.
Vedi un po' se riesci a calcolarlo, altrimenti più tardi cerchiamo una strada alternativa (adesso purtroppo ho da fare).
$\hat{y^\star}(m)=(y^\star, e^{i m x})= ( e^{i n x}, \cos mx)$.
Tutto sta a calcolare quest'ultimo prodotto scalare (così abbiamo evitato il casino di $a_n, b_n$ che probabilmente ti ha fatto confondere nel primo post). Si tratta di calcolare
$1/(sqrt(2pi)) \int_{-pi}^pi (cos nx cos mx + \i sin nx cos mx )"d"x$.
Vedi un po' se riesci a calcolarlo, altrimenti più tardi cerchiamo una strada alternativa (adesso purtroppo ho da fare).
ok, grazie per dedicarmi questo tuo tempo 
dunque quell'integrale dovrebbe esser noto perchè cmq so che le funzioni sennx cosmx sono ortogonali quindi
$1/(sqrt(2pi)) \int_{-pi}^pi (cos nx cos mx + \i sin nx cos mx )"d"x = 1/sqrt(2pi) delta_m^n$. Ovvero quell'integrale è diverso da 0 solo se m =n e in tal caso fa $1/sqrt(2pi)$ giusto?
dunque quell'integrale dovrebbe esser noto perchè cmq so che le funzioni sennx cosmx sono ortogonali quindi
$1/(sqrt(2pi)) \int_{-pi}^pi (cos nx cos mx + \i sin nx cos mx )"d"x = 1/sqrt(2pi) delta_m^n$. Ovvero quell'integrale è diverso da 0 solo se m =n e in tal caso fa $1/sqrt(2pi)$ giusto?
Sul fatto che $int_{-pi}^{pi}\sin nx \cos mx\, "d"x =0$ siamo d'accordo, ma per un motivo molto più banale: la funzione integranda è dispari e l'intervallo di integrazione è simmetrico rispetto a $0$. Per $1/(sqrt(2 pi)) \int _{-pi}^pi cos nx cos mx \, "d"x $ c'è qualche problema con le costanti. Quell'integrale fa $delta_m^n||cos nx ||_2^2 $; e se non mi sbaglio $||cosnx||_2^2=sqrt(pi)/2$, con questo prodotto scalare.
Il risultato dipende dalla scelta del prodotto scalare, io ho messo questa costante $1/(sqrt(2pi))$ ma se i testi che stai leggendo non lo fanno non la mettere. Su questo punto ogni autore fa come gli pare.
Se stai studiando gli operatori lineari negli spazi di Hilbert ti consiglio un libretto molto carino: il Gohberg-Goldberg Basic operator theory.
Il risultato dipende dalla scelta del prodotto scalare, io ho messo questa costante $1/(sqrt(2pi))$ ma se i testi che stai leggendo non lo fanno non la mettere. Su questo punto ogni autore fa come gli pare.
Se stai studiando gli operatori lineari negli spazi di Hilbert ti consiglio un libretto molto carino: il Gohberg-Goldberg Basic operator theory.
ok.. ora giunti a questo punto che so quella quantità e devo eguagliarla a $T^(+)e^(i n x), e^(imx)$ giusto? quale T^(+) vedi tu?
anche io affrontando lo stesso problema sono giunto alla stessa ambiguità. Ho pensato che l'operatore aggiunto deve soddisfare anche la condizione
$||T^+||=||T||$
ma mi sembra che in entrambe i casi la norma sia 1 o sbaglio?
$||T^+||=||T||$
ma mi sembra che in entrambe i casi la norma sia 1 o sbaglio?
Non sbagli, la norma di $T$ è $1$ perché si tratta del proiettore ortogonale sulle funzioni dispari (=il sottospazio chiuso di $L^2(-pi, pi)$ generato dai coseni coincide con il sottospazio delle funzioni dispari, questo si può dimostrare), e ogni proiettore ha sempre norma $1$.
Non solo, ma non c'è bisogno di fare conti per trovare l'aggiunto: ogni proiettore ortogonale, infatti, è sempre autoaggiunto. Vi chiedo scusa per non averci pensato prima, sono cose fresche anche per me.
Allego la dimostrazione di questa proposizione, tratta dal libro che dicevo prima, il Gohberg-Goldberg Basic operator theory, §13.1 .
Sia $H$ uno spazio di Hilbert e $P$ un proiettore ortogonale, ovvero un operatore limitato di $H$ in sé tale che
$\exists M$ sottospazio chiuso di $H$ t.c. $P(m+n)=m,\ \forall m \in M, n \in M^bot$. [size=75](*)[/size]
Affermo che $P$ è autoaggiunto. Questo è molto semplice da dimostrare: siano $x, y \in H$, $x=m+n,\ y=m_1+n_1$ con $m, m_1\inM, n, n_1\inM^bot$. Allora $(Px, y)=(m, m_1+n_1)=(m, m_1)$; ma è anche $(x, Py)=(m+n, m_1)=(m, m_1)$. Quindi $(Px, y)=(x, Py)$, ovvero $P$ è autoaggiunto.
______________________________________
(*) In realtà non è necessario supporre a priori che $P$ sia lineare e limitato. Un operatore che verifichi questa proprietà è automaticamente lineare e limitato.
Non solo, ma non c'è bisogno di fare conti per trovare l'aggiunto: ogni proiettore ortogonale, infatti, è sempre autoaggiunto. Vi chiedo scusa per non averci pensato prima, sono cose fresche anche per me.
Allego la dimostrazione di questa proposizione, tratta dal libro che dicevo prima, il Gohberg-Goldberg Basic operator theory, §13.1 .
Sia $H$ uno spazio di Hilbert e $P$ un proiettore ortogonale, ovvero un operatore limitato di $H$ in sé tale che
$\exists M$ sottospazio chiuso di $H$ t.c. $P(m+n)=m,\ \forall m \in M, n \in M^bot$. [size=75](*)[/size]
Affermo che $P$ è autoaggiunto. Questo è molto semplice da dimostrare: siano $x, y \in H$, $x=m+n,\ y=m_1+n_1$ con $m, m_1\inM, n, n_1\inM^bot$. Allora $(Px, y)=(m, m_1+n_1)=(m, m_1)$; ma è anche $(x, Py)=(m+n, m_1)=(m, m_1)$. Quindi $(Px, y)=(x, Py)$, ovvero $P$ è autoaggiunto.
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(*) In realtà non è necessario supporre a priori che $P$ sia lineare e limitato. Un operatore che verifichi questa proprietà è automaticamente lineare e limitato.
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