Dubbio su $o$-piccolo
Ciao...
volevo chiarire un dubbio.
Ho questo esercizio:
$lim_(x->0)(log(1+sen(x))-exp(sen(x))+1)/((sen(x)-1)tan(3x^2))$
ora prendendo gli opportuni sviluppi di taylor "dovrei" poter risolvere l'esercizio....tuttavia ho un dubbio, o meglio, piu che un dubbio (il dubbio presuppone due alternative), ho proprio un vuoto...
prendiamo ad esempio lo sviluppo di $log(1+sen(x))$
esso è dato dallo sviluppo del logaritmo che è $log(1+y)=y-y^2/2+ + o(y^2)$ con $y=sen(x)$
composto con lo svuluppo del seno che è $sen(y)= y-y^3/6+o(y^3)$
quindi la composizione , diciamo al secondo grado rispetto al logaritmo, diventa: $log(1+sen(x))=(x-x^3/6+o(x^3))-((x-x^3/6 + o(x^3))^2)/2 + [size=150]?[/size]
ora io...inizialmente al posto del "punto interrogativo" ci ho messo $o(x^2)$...
tuttavia ho come il sospetto che quel o-piccolo li, non serva a nulla e anzi sia dannoso perchè mi faccia annullare tutto cio che è maggiore del grado 2...
ora io non so se il mio ragionamento sia esatto o meno....molto probabilmente no...però ho come la vaga impressione che li non ci vada $o(x^2)$ ma qualcos'atro...
e immagino che questo ragionamento sia poi valido anche per $exp(sen(x))$
sbaglio??
grazie in anticipo per le dritte...ciao
volevo chiarire un dubbio.
Ho questo esercizio:
$lim_(x->0)(log(1+sen(x))-exp(sen(x))+1)/((sen(x)-1)tan(3x^2))$
ora prendendo gli opportuni sviluppi di taylor "dovrei" poter risolvere l'esercizio....tuttavia ho un dubbio, o meglio, piu che un dubbio (il dubbio presuppone due alternative), ho proprio un vuoto...
prendiamo ad esempio lo sviluppo di $log(1+sen(x))$
esso è dato dallo sviluppo del logaritmo che è $log(1+y)=y-y^2/2+ + o(y^2)$ con $y=sen(x)$
composto con lo svuluppo del seno che è $sen(y)= y-y^3/6+o(y^3)$
quindi la composizione , diciamo al secondo grado rispetto al logaritmo, diventa: $log(1+sen(x))=(x-x^3/6+o(x^3))-((x-x^3/6 + o(x^3))^2)/2 + [size=150]?[/size]
ora io...inizialmente al posto del "punto interrogativo" ci ho messo $o(x^2)$...
tuttavia ho come il sospetto che quel o-piccolo li, non serva a nulla e anzi sia dannoso perchè mi faccia annullare tutto cio che è maggiore del grado 2...
ora io non so se il mio ragionamento sia esatto o meno....molto probabilmente no...però ho come la vaga impressione che li non ci vada $o(x^2)$ ma qualcos'atro...
e immagino che questo ragionamento sia poi valido anche per $exp(sen(x))$
sbaglio??
grazie in anticipo per le dritte...ciao
Risposte
No quel termine ci manca quindi a rigore dovresti metterlo. Tuttavia, poichè ti verrebbe $((x-x^3/6 + o(x^3))^3)/6$ puoi vederlo come $x^3/6 + o(x^3)$
"mikelozzo":
...volevo chiarire un dubbio.
[...]
Se sei interessato ad uno sviluppo di ordine tre, puoi indicare tutte le potenze maggiori con $o(x^3)$
quindi il tuo sviluppo diventa:
$T(x)_(3,0)=x - x^2/2+x^3/6+o(x^3)$
si ok...queste cose mi sono chiare...
forse non mi sono spiegato bene...anche se penso che meglio di cosi non ci riuscirei...
cmq ...a me non serve sapere se devo mettere il termine di terzo grado perchè diciamo che per ipotesi io mi voglia fermare al secondo...il problema che io mi ponevo è se mettere o meno e COSA mettere al posto dell'o-piccolo "semplice"...
non so spiegarmi meglio di cosi...
forse non mi sono spiegato bene...anche se penso che meglio di cosi non ci riuscirei...
cmq ...a me non serve sapere se devo mettere il termine di terzo grado perchè diciamo che per ipotesi io mi voglia fermare al secondo...il problema che io mi ponevo è se mettere o meno e COSA mettere al posto dell'o-piccolo "semplice"...
non so spiegarmi meglio di cosi...
Basta che sviluppi numeratore e denominatore fino al second'ordine. Il numeratore è $-x^2 +o(x^2)$ per $x->0$;
il denominatore è $-3x^2+o(x^2)$, quindi il limite fa $1/3$.
il denominatore è $-3x^2+o(x^2)$, quindi il limite fa $1/3$.
"mikelozzo":
si ok...queste cose mi sono chiare...
..il problema che io mi ponevo è se mettere o meno e COSA mettere al posto dell'o-piccolo "semplice"...
non so spiegarmi meglio di cosi...
prova a dire cosa intendi con o-piccolo "semplice", perchè non ho ben chiaro quale sia il tuo dubbio.
"mikelozzo":
si ok...queste cose mi sono chiare...
forse non mi sono spiegato bene...anche se penso che meglio di cosi non ci riuscirei...
cmq ...a me non serve sapere se devo mettere il termine di terzo grado perchè diciamo che per ipotesi io mi voglia fermare al secondo...il problema che io mi ponevo è se mettere o meno e COSA mettere al posto dell'o-piccolo "semplice"...
non so spiegarmi meglio di cosi...
si, ma il problema non è quello...
ho capito perchè non recepite la mia domanda....ho sbagliato io a scrivere lo sviluppo del logaritmo semplice, poiche l'ho portato fino al terzo grado e adesso vi sto chiedendo come fermarmi al secondo...
fate finta che abbia scritto l'approsimazione del polinomio di taylor del logaritmo fino al secondo grado e non al terzo...
nella composizione poi di logaritmo e seno...l'o-piccolo cosa diventa??????????
resta $o(x^2)$ oppure ad esempio $o(x-x^3/6+o(x^3))^2$ o qualcosa di simile...l'ho sparata li...per far capire il succo...
a me non interessa capire cosa viene dopo del secondo grado...ma come diventa, come si trasforma (e SE si traforma o resta cosi) l'o-piccolo
spero di essere stato chiaro questa volta
PS. cambio il testo originario su dello sviluppo del logaritmo cosi forse si capisce meglio
Vediamo se ho capito.
Se stai facendo uno sviluppo di ordine tre (numero a caso) puoi trascurare gli $o(x^3)$, non puoi trascurare - quindi devi esplicitare - gli $o(x^2)$.
Se esplicitando questi ultimi ottieni termini di ordine maggiore di tre, li indichi con $o(x^3)$.
che ne dici?
Se stai facendo uno sviluppo di ordine tre (numero a caso) puoi trascurare gli $o(x^3)$, non puoi trascurare - quindi devi esplicitare - gli $o(x^2)$.
Se esplicitando questi ultimi ottieni termini di ordine maggiore di tre, li indichi con $o(x^3)$.
che ne dici?
no....va be...non fa niente grazie lo stesso
sono io che non riesco a spiegarmi evidentemente...al massimo date un occhiata al primo intervento che ho modificato cosi forse capite meglio...
altrimenti...grazie comunque per la disponibilità...forse è una cosa troppo complessa da chiedere qui via computer...magari c'è bisogno di un contatto piu diretto...
grazie comunque
sono io che non riesco a spiegarmi evidentemente...al massimo date un occhiata al primo intervento che ho modificato cosi forse capite meglio...
altrimenti...grazie comunque per la disponibilità...forse è una cosa troppo complessa da chiedere qui via computer...magari c'è bisogno di un contatto piu diretto...
grazie comunque
"mikelozzo":
nella composizione poi di logaritmo e seno...l'o-piccolo cosa diventa??????????
resta $o(x^2)$ oppure ad esempio $o(x-x^3/6+o(x^3))^2$ o qualcosa di simile...
Ti faccio notare che sono la stessa cosa i due $o-\text(piccolo)$ che hai scritto...
Scusate, ma ragionate un po' più semplicemente, no?
Non c'è bisogno di fare sviluppi di Taylor di funzioni composte!
Al numeratore c'è una funzione di $y=sinx$, precisamente $ln(1+y)-e^y+1$; ora sono noti gli sviluppi inserie:
$ln(1+y)=y-1/2y^2+1/3y^3+\ldots +(-1)^n/(n+1)y^(n+1)$
$e^y-1=y+1/2y^2+1/6y^3+\ldots +1/(n!) y^n$ (si ricava da quello dell'esponenziale "portando $1$ dall'altra parte")
dai quali, sottraendo m.a.m., discende:
$ln(1+y)-e^y+1=-y^2+"o"(y^3)$
dalla quale, tenendo presente che $y=sinx$, si trae:
$log(1+sinx)-e^(sinx)+1=-sin^2x+"o"(sin^3x)$.
Usando quest'informazione ed il limite notevole $lim_(y\to 0) (tgy)/y=1$ riusciamo a scrivere:
(*) $\quad lim_(xto 0) (log(1+sinx)-e^(sinx)+1)/((sinx-1)*tg(3x^2))=lim_(xto 0) 1/(sin x-1)*\{-(sin^2x)/(3x^2)+("o"(sin^3x))/(3x^2)\}*(3x^2)/(tg(3x^2)) \quad$,
in cui, al secondo membro, il primo ed il terzo fattore sono convergenti; il secondo fattore invece pure, giacché $(sin^2x)/(3x^2)$ converge per il limite fondamentalissimo del seno, mentre $("o"(sin^3x))/(3x^2)$ va a zero (infatti dire $"o"(sin^3x)$ o dire $"o"(x^3)$ è la stessa cosa, sempre per via del limite fondamentalissimo).
Ne viene che il secondo membro di (*) è convergente, quindi il limite iniziale esiste finito.
Lascio volentieri a te il calcolo esplicito.
Non c'è bisogno di fare sviluppi di Taylor di funzioni composte!
Al numeratore c'è una funzione di $y=sinx$, precisamente $ln(1+y)-e^y+1$; ora sono noti gli sviluppi inserie:
$ln(1+y)=y-1/2y^2+1/3y^3+\ldots +(-1)^n/(n+1)y^(n+1)$
$e^y-1=y+1/2y^2+1/6y^3+\ldots +1/(n!) y^n$ (si ricava da quello dell'esponenziale "portando $1$ dall'altra parte")
dai quali, sottraendo m.a.m., discende:
$ln(1+y)-e^y+1=-y^2+"o"(y^3)$
dalla quale, tenendo presente che $y=sinx$, si trae:
$log(1+sinx)-e^(sinx)+1=-sin^2x+"o"(sin^3x)$.
Usando quest'informazione ed il limite notevole $lim_(y\to 0) (tgy)/y=1$ riusciamo a scrivere:
(*) $\quad lim_(xto 0) (log(1+sinx)-e^(sinx)+1)/((sinx-1)*tg(3x^2))=lim_(xto 0) 1/(sin x-1)*\{-(sin^2x)/(3x^2)+("o"(sin^3x))/(3x^2)\}*(3x^2)/(tg(3x^2)) \quad$,
in cui, al secondo membro, il primo ed il terzo fattore sono convergenti; il secondo fattore invece pure, giacché $(sin^2x)/(3x^2)$ converge per il limite fondamentalissimo del seno, mentre $("o"(sin^3x))/(3x^2)$ va a zero (infatti dire $"o"(sin^3x)$ o dire $"o"(x^3)$ è la stessa cosa, sempre per via del limite fondamentalissimo).
Ne viene che il secondo membro di (*) è convergente, quindi il limite iniziale esiste finito.
Lascio volentieri a te il calcolo esplicito.
Scusate, ma ragionate un po' più semplicemente, no?
.....piu....SEMPLICEMENTE???? stai scherzando vero??? comunque sei troppo un genio!!!! ho capito il tuo ragionamento...con molta fatica...ma l'ho capito...
solo due cosette:
1) come faccio a capire quando una cosa è convergente?
2)
"Gatto89":
[quote="mikelozzo"]
nella composizione poi di logaritmo e seno...l'o-piccolo cosa diventa??????????
resta $o(x^2)$ oppure ad esempio $o(x-x^3/6+o(x^3))^2$ o qualcosa di simile...
Ti faccio notare che sono la stessa cosa i due $o-\text(piccolo)$ che hai scritto...[/quote]
quindi devo dedurre che posso sempre scrivere per l'o-piccolo..."o-piccolo di cio che era al grado inferiore" che essendo uguale all'o-piccolo semplice (diciamo $o(x^2)$) elimina tutto cio che è maggiore al grado 2
3)[/b
](*) $\quad lim_(xto 0) (log(1+sinx)-e^(sinx)+1)/((sinx-1)*tg(3x^2))=lim_(xto 0) 1/(sin x-1)*\{-(sin^2x)/(3x^2)+("o"(sin^3x))/(3x^2)\}*(3x^2)/(tg(3x^2)) \quad$,
qui praticamente hai prima isolato $1/(sen(x)-1$, poi la tangente, poi hai moltiplicato e diviso per $3x^2$ a numeratore e denominatore e successivamente hai spezzato la frazione centrale...giusto??
solo una domanda: MA COME CAVOLO LE PENSI STE COSE?? io ti ammiro proprio...sei allucinante!!!
io neppure tra 10 anni arrivo al tuo livello (che di questo passo è destinato ad aumentare) ahahahahahahahahahahahahahahah
grazie gugo!!!
visto che sei di napoli...te lo dico cosi...forse capisci... SI U MEGGHJ!!!! ahahahahahahahahha
"Gugo82":
Scusate, ma ragionate un po' più semplicemente, no?
Non c'è bisogno di fare sviluppi di Taylor di funzioni composte!
Resto ammirato. Sono certo che lo studente quadratico medio non penserebbe a questa soluzione
"mikelozzo":
[quote="Gugo82"]Scusate, ma ragionate un po' più semplicemente, no?
.....piu....SEMPLICEMENTE???? [...]
3)
(*) $\quad lim_(xto 0) (log(1+sinx)-e^(sinx)+1)/((sinx-1)*tg(3x^2))=lim_(xto 0) 1/(sin x-1)*\{-(sin^2x)/(3x^2)+("o"(sin^3x))/(3x^2)\}*(3x^2)/(tg(3x^2)) \quad$,
qui praticamente hai prima isolato $1/(sen(x)-1$, poi la tangente, poi hai moltiplicato e diviso per $3x^2$ a numeratore e denominatore e successivamente hai spezzato la frazione centrale...giusto??[/quote]
Esattamente!
"mikelozzo":
solo una domanda: MA COME CAVOLO LE PENSI STE COSE??
Vedi sotto.
E grazie per i complimenti.
"piero_":
[quote="Gugo82"]Scusate, ma ragionate un po' più semplicemente, no?
Non c'è bisogno di fare sviluppi di Taylor di funzioni composte!
Resto ammirato. Sono certo che lo studente quadratico medio non penserebbe a questa soluzione
[/quote]Solo perchè lo studente quadratico medio è abituato a cominciare i calcoli prima di aver guardato attentamente il problema.
La prima cosa che consiglio è "Perdete almeno due minuti per guardare com'è fatto il problema: che dati avete, che forma ha, se vi ricorda qualcosa che avete già fatto, se potete evitare conti complicati ragionando semplicemente..." (diciamo che io i due minuti li perdo soprattutto perchè mi scoccia fare i calcoli
).D'altra parte questi sono i consigli che dava qualcuno molto più in gamba di me: risalgono a G. Polya (How to solve it oppure qui).
Solo perchè lo studente quadratico medio è abituato a cominciare i calcoli prima di aver guardato attentamente il problema.
La prima cosa che consiglio è "Perdete almeno due minuti per guardare com'è fatto il problema: che dati avete, che forma ha, se vi ricorda qualcosa che avete già fatto, se potete evitare conti complicati ragionando semplicemente..." (diciamo che io i due minuti li perdo soprattutto perchè mi scoccia fare i calcoli
si ok...questo è vero...però c'è anche la capacità di cogliere una finezza nell'esercizio, una intuizione particolare, un esperieza nel campo che ti fa capire meglio e prima il problema che hai di fronte...e credo che queste cose siano personali...magari in germe in tutti, ma sicuramente sviluppate in maniera diversa...
io ad esempio non sono mai stato un genio in matematica....me la cavicchio...capisco i procedimenti se sono spiegati bene...però mi manca ancora (o comunque devo svilupparla meglio) quella capacità di intuizione che secondo me , Gugo, è la tua capacità migliore...
ciao ciao e ancora grazie....se ho qualche problema con lo svolgimento lo scrivo qui...
PS. un ultima cosa....MENOMALE CHE ESISTE QUESTO SITO...AMMINISTRATORI SANTI SUBITO!!!!
... ma nessuno si è preso la briga di leggere le due righe di fireball?
"GIBI":
... ma nessuno si è preso la briga di leggere le due righe di fireball?
Sì l'avevo letto... Ma non avendo fireball spiegato come aveva fatto a ricavare quelle espressioni, ho pensato di metterci una pezza io.
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