Dubbio su notazione

[Mith891]

Ciao a tutti, studianto teoria mi sono imbattutto in questa notazione del differenziale:


Sarà una domanda stupida ma non capisco se $ L(x-x^0) $ lo si legge come " L funzione di x meno x con zero" L PER x meno x con zero". Lo stesso dubbio ce l'ho a riguardo di questa relazione qui:

$ (df)(x^0) = L (x-x^0) = f'(x^0)(x-x^0) = J (f)(x^0)(x-x^0) $

[j18eos]

La [tex]$L$[/tex] è una forma lineare, ovvero una funzione lineare da [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex], quindi...

[Mith891]

ok, si legge funzione di, come si legge invece: $ J(f)(x0)(x-x0) $ ?

[j18eos]

A parte che è più comodo scrivere [tex]$J_{f(x_0)}(x-x_0)$[/tex], si legge "jacobiano di [tex]$f$[/tex] in [tex]$x_0$[/tex] valutato in [tex]$x-x_0$[/tex]"; per esser più chiari [tex]$J_{f(x_0)}$[/tex] è una funzione di per sè, una volta fissati la [tex]$f$[/tex] ed il punto [tex]$x_0$[/tex]!

Ma il libro non ne parla?

[Mith891]

grazie mille. Il libro ne parla certo ma dà per scontato certe cose...

[j18eos]

OK, più di consigliarti un testo coaudiuvante non posso!

[dissonance]

Non è una fesseria questa però. Infatti, specialmente parlando di applicazioni lineari, si tende spesso a usare una notazione moltiplicativa per creare ambiguità con il prodotto per costanti o per matrici. Per intenderci, se $A$ è un operatore lineare su uno spazio vettoriale $V$, si usa spessissimo scrivere

$Av$

in luogo di

$A(v)$.

E' un effetto voluto: essendo lineare, $A$ verifica la proprietà distributiva e commuta con gli scalari:

$A(v+w)=A(v)+A(w), quad A(lambda v)=lambda A(v)$

proprio come farebbe uno scalare o una matrice. La notazione $Av$ serve a ricordarci emotivamente queste proprietà algebriche.