Dubbio su metodi matematici per la fisica
Buongiorno.
La funzione ${e^{iz}/z}$ verifica il lemma di Jordan per $|z|\rightarrow \infty$, quindi dovrebbe andare a zero.
Ho provato a risolvere il limite, ma non giungo alla stessa conclusione del libro...secondo il mio ragionamento, la funzione va all'infinito perchè il numeratore, essendo un esponenziale, va all'infinito più velocemente del denominatore.
Qualcuno mi sa spiegare dove sbaglio?
Grazie
La funzione ${e^{iz}/z}$ verifica il lemma di Jordan per $|z|\rightarrow \infty$, quindi dovrebbe andare a zero.
Ho provato a risolvere il limite, ma non giungo alla stessa conclusione del libro...secondo il mio ragionamento, la funzione va all'infinito perchè il numeratore, essendo un esponenziale, va all'infinito più velocemente del denominatore.
Qualcuno mi sa spiegare dove sbaglio?
Grazie
Risposte
Non ha ragione nessuno dei due. Il tuo discorso vale lungo il semiasse \(z=-it\), lungo il quale la funzione diventa
\[
i\frac{e^{t}}{t},\quad t>0
\]
e quindi diverge in modulo quando \(t\to +\infty\). Il discorso del libro invece vale lungo l'asse reale \(z=t\), lungo il quale la funzione diventa
\[
\frac{\cos t + i \sin t}{t},\quad t >0
\]
e quindi tende a \(0\) perché il numeratore è limitato. Questo fa capire che il limite per \(\lvert z \rvert \to +\infty\) non esiste. Ma d'altra parte per calcolare integrali col metodo dei residui non è questo che ti serve. A te serve che l'integrale sul grande cerchio tenda a zero quando il raggio tende a infinito. (Sto chiamando "grande cerchio" la semicirconferenza più grande nel disegno a "mezza ciambella" che si fa per calcolare l'integrale di \(\sin x /x\). Spero sia chiaro)
\[
i\frac{e^{t}}{t},\quad t>0
\]
e quindi diverge in modulo quando \(t\to +\infty\). Il discorso del libro invece vale lungo l'asse reale \(z=t\), lungo il quale la funzione diventa
\[
\frac{\cos t + i \sin t}{t},\quad t >0
\]
e quindi tende a \(0\) perché il numeratore è limitato. Questo fa capire che il limite per \(\lvert z \rvert \to +\infty\) non esiste. Ma d'altra parte per calcolare integrali col metodo dei residui non è questo che ti serve. A te serve che l'integrale sul grande cerchio tenda a zero quando il raggio tende a infinito. (Sto chiamando "grande cerchio" la semicirconferenza più grande nel disegno a "mezza ciambella" che si fa per calcolare l'integrale di \(\sin x /x\). Spero sia chiaro)
L'errore nostro è stato calcolare il limite come se fosse in una sola variabile, cioè z.
Scusa ma non abbiamo capito cosa sono $z=-it$ e la funzione $i(e^t/t)$
Scusa ma non abbiamo capito cosa sono $z=-it$ e la funzione $i(e^t/t)$
Chiama \(f(z)=e^{iz}/z\), questa è la funzione che stai esaminando. E' una funzione di variabile complessa, e quindi, esattamente come per le funzioni di due variabili reali, si può valutare lungo delle rette o delle curve. In questo caso la possiamo valutare lungo la semiretta \(\{-it\ :\ t>0\}\) e poi lungo la semiretta \(\{t\ :\ t>0\}\). In entrambi in casi si ottiene una funzione di una sola variabile reale \(t\), restrizione ad una semiretta della originaria funzione di variabile complessa.
Quando \(t\to +\infty\) le due restrizioni hanno comportamenti diversi, quindi il limite non esiste.
Quando \(t\to +\infty\) le due restrizioni hanno comportamenti diversi, quindi il limite non esiste.
Vediamo se ho capito.
L'integrale della funzione ${e^(iz)}/z$ sul percorso del semicerchio grande vale zero per z tendente a infinito (quindi verifica il lemma di Jordan) perchè ragionando al limite, faccio tendere il percorso di integrazione sull'asse reale e di conseguenza la funzione cambia diventando\[ \frac{\cos t + i \sin t}{t},\quad t >0 \].
L'integrale sul semicerchio piccolo invece, al limite, si schiaccia sull'asse immaginario e la funzione diventa\[ i\frac{e^{t}}{t},\quad t>0 \] che va all'infinito e non verifica il lemma di Jordan. Per cui, dato che l'integrale diverge (non verificando il lemma) lo calcolo col metodo dei residui. Giusto?
L'integrale della funzione ${e^(iz)}/z$ sul percorso del semicerchio grande vale zero per z tendente a infinito (quindi verifica il lemma di Jordan) perchè ragionando al limite, faccio tendere il percorso di integrazione sull'asse reale e di conseguenza la funzione cambia diventando\[ \frac{\cos t + i \sin t}{t},\quad t >0 \].
L'integrale sul semicerchio piccolo invece, al limite, si schiaccia sull'asse immaginario e la funzione diventa\[ i\frac{e^{t}}{t},\quad t>0 \] che va all'infinito e non verifica il lemma di Jordan. Per cui, dato che l'integrale diverge (non verificando il lemma) lo calcolo col metodo dei residui. Giusto?
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"ChiaraSchive":
Buongiorno.
La funzione ${e^{iz}/z}$ verifica il lemma di Jordan per $|z|\rightarrow \infty$, quindi dovrebbe andare a zero.
Ho provato a risolvere il limite, ma non giungo alla stessa conclusione del libro...secondo il mio ragionamento, la funzione va all'infinito perchè il numeratore, essendo un esponenziale, va all'infinito più velocemente del denominatore.
Qualcuno mi sa spiegare dove sbaglio?
Grazie
L'ipotesi del lemma di Jordan (http://it.wikipedia.org/wiki/Lemma_di_Jordan) è che la semicirconferenza di integrazione sia solo nel semipiano immaginario positivo (o sull'asse dei reali) cioè $|z|=|x+iy|=R,\ x,y \in \RR, \ y>=0$.
Quindi $lim_(R->oo) |e^z /z| = lim_(R->oo) |(e^(ix)e^(-y)) /R|=0$,
siccome $|e^(ix)|=1$ e $|e^(-y)|<=1$.
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