Dubbio su maxlim e minlim
Salve a tutti.
Come da titolo, studiando quest'argomento mi è sorto un bel dubbio. Vedendo in giro che l'argomento è spiegato in diversi modi, premetto che per me valore limite è il limite di un estratta \((a_{k_n})\) di \((a_n)\), classe limite l'insieme dei valori limite di \((a_n)\) mentre $maxlim\(a_n)\$ e $minlim\(a_n)\$ sono rispettivamente $SUP$ e $INF$ in $RR$ esteso di tale insieme. Si può dimostrare che:
[list=1]1) la classe limite è chiusa e mai vuota in $RR$ esteso;
2) dato $l$ appartenente ad $RR$ esteso, se $lim\(a_n)\ = l$ allora ogni estratta \((a_{k_n})\) ha per limite $l$, e viceversa, se ogni estratta \((a_{k_n})\), distinta da \((a_n)\), ha per limite $l$ allora $lim\(a_n)\ = l$;
3) $lim\(a_n)\ = l$ se e solo se $maxlim\(a_n)\ = minlim\(a_n)\$;[/list:o:1hhljcbv]
... insomma ci siamo capiti
Subito dopo la definizione di $maxlim$ e $minlim$, il mio libro fa un osservazione. Si afferma che:
[list=1]1) se la successione \((a_n)\) è limitata, la sua classe limite è formata soltanto da numeri (nel senso che non ci sono estratte divergenti);
2) $maxlim\(a_n)\ = +oo$ se e solo se \((a_n)\) è una successione non limitata superiormente;
3) $minlim\(a_n)\ = -oo$ se e solo se \((a_n)\) è una successione non limitata inferiormente;[/list:o:1hhljcbv]
Ora, alla luce di quanto scritto (in particolare per il secondo o terzo teorema), l'osservazione è sicuramente vera nel caso in cui la successione \((a_n)\) è regolare (cioè converge o diverge). Il mio dubbio riguarda il caso in cui la successione è oscillante; magari è banale, ma io non capisco perché è vera in questo caso (per esempio, chi mi dice che non è possibile ottenere un'estratta divergente da una successione oscillante e limitata ?)
Grazie anticipatamente
Come da titolo, studiando quest'argomento mi è sorto un bel dubbio. Vedendo in giro che l'argomento è spiegato in diversi modi, premetto che per me valore limite è il limite di un estratta \((a_{k_n})\) di \((a_n)\), classe limite l'insieme dei valori limite di \((a_n)\) mentre $maxlim\(a_n)\$ e $minlim\(a_n)\$ sono rispettivamente $SUP$ e $INF$ in $RR$ esteso di tale insieme. Si può dimostrare che:
[list=1]1) la classe limite è chiusa e mai vuota in $RR$ esteso;
2) dato $l$ appartenente ad $RR$ esteso, se $lim\(a_n)\ = l$ allora ogni estratta \((a_{k_n})\) ha per limite $l$, e viceversa, se ogni estratta \((a_{k_n})\), distinta da \((a_n)\), ha per limite $l$ allora $lim\(a_n)\ = l$;
3) $lim\(a_n)\ = l$ se e solo se $maxlim\(a_n)\ = minlim\(a_n)\$;[/list:o:1hhljcbv]
... insomma ci siamo capiti
Subito dopo la definizione di $maxlim$ e $minlim$, il mio libro fa un osservazione. Si afferma che:
[list=1]1) se la successione \((a_n)\) è limitata, la sua classe limite è formata soltanto da numeri (nel senso che non ci sono estratte divergenti);
2) $maxlim\(a_n)\ = +oo$ se e solo se \((a_n)\) è una successione non limitata superiormente;
3) $minlim\(a_n)\ = -oo$ se e solo se \((a_n)\) è una successione non limitata inferiormente;[/list:o:1hhljcbv]
Ora, alla luce di quanto scritto (in particolare per il secondo o terzo teorema), l'osservazione è sicuramente vera nel caso in cui la successione \((a_n)\) è regolare (cioè converge o diverge). Il mio dubbio riguarda il caso in cui la successione è oscillante; magari è banale, ma io non capisco perché è vera in questo caso (per esempio, chi mi dice che non è possibile ottenere un'estratta divergente da una successione oscillante e limitata ?)
Grazie anticipatamente
Risposte
E' il caso di fabbricare una proposizione.
Proposizione Una successione \((a_n)\) limitata non ha estratte divergenti a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
Dimostrazione Per assurdo sia \((a_{k_n})\) una estratta divergente. In particolare \(a_{k_n}\) è non limitata. Ma essendo estratta da una successione limitata, \(a_{k_n}\) deve essere limitata e questa è una contraddizione. ////
Proposizione Una successione \((a_n)\) limitata non ha estratte divergenti a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
Dimostrazione Per assurdo sia \((a_{k_n})\) una estratta divergente. In particolare \(a_{k_n}\) è non limitata. Ma essendo estratta da una successione limitata, \(a_{k_n}\) deve essere limitata e questa è una contraddizione. ////
Ciao.
Allora, leggendo la proposizione che hai scritto, ho capito che il mio problema è un po più "profondo" di quanto pensassi. In particolare:
ciò significa che l'estratta \((a_{k_n})\) "conserva" la limitatezza o meno di \((a_n)\) ?
Allora, leggendo la proposizione che hai scritto, ho capito che il mio problema è un po più "profondo" di quanto pensassi. In particolare:
essendo estratta da una successione limitata, akn deve essere limitata
ciò significa che l'estratta \((a_{k_n})\) "conserva" la limitatezza o meno di \((a_n)\) ?
Ma questo è assolutamente ovvio. Ogni estratta da una successione limitata è essa stessa limitata. Dimostralo tu, come esercizio.
Ok, tutto chiaro
Spero anche di poter dimostrare quanto hai proposto.
Ti ringrazio di tutto.
Spero anche di poter dimostrare quanto hai proposto.
Ti ringrazio di tutto.
"Speri" anche di...? 
Guarda che è così ovvio che devi solo provarci: scrivi la definizione di "successione limitata", prendi una estratta, renditi conto che anche l'estratta è limitata. Questi sono i passaggi logici da effettuare.
Guarda che è così ovvio che devi solo provarci: scrivi la definizione di "successione limitata", prendi una estratta, renditi conto che anche l'estratta è limitata. Questi sono i passaggi logici da effettuare.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo