Dubbio su massimi e minimi assuloti
Salve a tutti. Sto preparando l'esame di Analisi Matematica 2 e in una prova c'è il seguente esercizio
Calcolare i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione
$f(x,y)=3x^2+xy+y^2$
nel dominio $E={(x,y) in R^2 : |y|-2<=x<=3 , x>=2}$
Vi dico la verità non so disegnare il dominio e quindi non posso continuare l'esercizio. Qualcuno mi può far capire come si fa? Grazie in anticipo!
Calcolare i punti di massimo e di minimo assoluti della funzione
$f(x,y)=3x^2+xy+y^2$
nel dominio $E={(x,y) in R^2 : |y|-2<=x<=3 , x>=2}$
Vi dico la verità non so disegnare il dominio e quindi non posso continuare l'esercizio. Qualcuno mi può far capire come si fa? Grazie in anticipo!
Risposte
concentriamoci sulla disequazione $|y|-2 leq x$
essa equivale a $|y|leq x+2$ che a sua volta equivale a$-x-2leqyleqx+2$
quindi il dominio è la parte di piano compresa tra le rette$x=2;x=3;y=x+2;y=-x-2$
essa equivale a $|y|leq x+2$ che a sua volta equivale a$-x-2leqyleqx+2$
quindi il dominio è la parte di piano compresa tra le rette$x=2;x=3;y=x+2;y=-x-2$
Grazie mille davvero!!!! Un ultima cosa. Allora disegno $y=-x-2$ e $y=x+2$ e controllo i vari maggiori e minori e mi disegno il dominio. Grazie ancora. Speriamo che il resto dell'esercizio fili tutto liscio!!!
Devo aver sbagliato qualcosa. In primis chiedo scusa perchè ho sbagliato a scrivere a scrivere il dominio. Quello corretto è
$E={(x,y) in R^2 : |y| -2 <=x<= 3 , x>=-2}$ e non
$E={(x,y) in R^2 : |y| -2 <=x<= 3 , x>=2}$
(cambia poco
) .
Il punto è questo disegno le rette $-x-2<=y$ e $y<=x+2$ e mi vengono fuori i punti delle rette per la prima $(0,2) ; (1,3)$ e per la seconda $(0,-2);(1,-3)$
Rispettando quello che mi dice il dominio e cioè $-x-2<=y<=x+2 $
$x<=3$
$x>=-2$
Non mi viene fuori una figura nel quale poi potrò controllare i vari massimi e minimi!
Cosa ho sbagliato?
$E={(x,y) in R^2 : |y| -2 <=x<= 3 , x>=-2}$ e non
$E={(x,y) in R^2 : |y| -2 <=x<= 3 , x>=2}$
(cambia poco
) .Il punto è questo disegno le rette $-x-2<=y$ e $y<=x+2$ e mi vengono fuori i punti delle rette per la prima $(0,2) ; (1,3)$ e per la seconda $(0,-2);(1,-3)$
Rispettando quello che mi dice il dominio e cioè $-x-2<=y<=x+2 $
$x<=3$
$x>=-2$
Non mi viene fuori una figura nel quale poi potrò controllare i vari massimi e minimi!
Cosa ho sbagliato?
se rappresenti correttamente le rette $x=-2;x=3;y=x+2;y=-x-2 $,puoi vedere che il dominio è la parte di piano delimitata dal triangolo di vertici $A(-2,0);B(3,5);C(3,-5)$
Le coordinate delle rette che ho trovato io sono corrette? Sto andando al manicomio!
scusa,ma non ti risulta che le rette x=-2;y=x+2;y=-x-2 si intersechino nel punto A(-2,0) e che la retta X=3 intersechi le 2 rette oblique nei punti B(3,5) e C(3,-5) ? 
Si ho risolto grazie avevo sbagliato una grande sciocchezza. Grazie mille davvero hai risolto un vero dilemma per me!
Puoi controllare se il resto dell'esercizio è fatto in modo corretto?
Calcolo i punti critici
$f_x=6x+y$
$f_y=x+2y$
Metto a sistema le derivate ed il punto critico che mi trovo è $(0,0)$ che è interno al dominio dato allora va considerato tra gli eventuali massimi e minimi assoluti.
$f(0,0)=0$
A questo punto controllo i vertici
$f(0,-2)=4$
$f(3,5)=67$
$f(3-5)=37$
Allora posso affermare che il minimo assoluto è $0$ e il massimo assoluto è $67$
Calcolo i punti critici
$f_x=6x+y$
$f_y=x+2y$
Metto a sistema le derivate ed il punto critico che mi trovo è $(0,0)$ che è interno al dominio dato allora va considerato tra gli eventuali massimi e minimi assoluti.
$f(0,0)=0$
A questo punto controllo i vertici
$f(0,-2)=4$
$f(3,5)=67$
$f(3-5)=37$
Allora posso affermare che il minimo assoluto è $0$ e il massimo assoluto è $67$
attenzione,la funzione non è lineare e quindi la devi studiare sull'intera frontiera,non solo sui vertici
Allora vediamo se ho capito.
Considero i tre vertici $A(3,-5)$ , $B(3,5)$ , $C(-2,0)$
Studiando i massimi e minimi sulla frontiera considero un lato alla volta. Considerando il lato $AB$ (Lo chiamo $L_1$) dovrei avere
$L_1={(x,y) in R^2 : -5<=x<=5 , y=0 }$
$f(x,0)=3x^2$ e derivando ottengo $f_x(x,0)=6x$
Per $L_2={(x,y) in R^2 : -2<=x<=-5 , y=-x-2}$ (il lato $AC$)
$f(x , x-2)=3x^2+2x+4$ e derivando ottengo $f_x(x , x-2)=6x+2$
$L_3={(x,y) in R^2 : -2<=x<=5 , y=x+2}$ (il lato $BC$)
$f(x, x+2)=5x^2+4x+4$ , $f_x(x, x+2)=10x+4$
Il procedimento dovrebbe essere questo. Ma da queste considerazioni come faccio a capire i minimi e i massimi assoluti?
Scusa se sono così insistente ma non riesco a studiare con nessuno, da solo ho difficoltà e questo forum è l'unico mio aiuto a capire le cose!
Considero i tre vertici $A(3,-5)$ , $B(3,5)$ , $C(-2,0)$
Studiando i massimi e minimi sulla frontiera considero un lato alla volta. Considerando il lato $AB$ (Lo chiamo $L_1$) dovrei avere
$L_1={(x,y) in R^2 : -5<=x<=5 , y=0 }$
$f(x,0)=3x^2$ e derivando ottengo $f_x(x,0)=6x$
Per $L_2={(x,y) in R^2 : -2<=x<=-5 , y=-x-2}$ (il lato $AC$)
$f(x , x-2)=3x^2+2x+4$ e derivando ottengo $f_x(x , x-2)=6x+2$
$L_3={(x,y) in R^2 : -2<=x<=5 , y=x+2}$ (il lato $BC$)
$f(x, x+2)=5x^2+4x+4$ , $f_x(x, x+2)=10x+4$
Il procedimento dovrebbe essere questo. Ma da queste considerazioni come faccio a capire i minimi e i massimi assoluti?
Scusa se sono così insistente ma non riesco a studiare con nessuno, da solo ho difficoltà e questo forum è l'unico mio aiuto a capire le cose!
Vedi dove le derivate si annullano ; in corrispondenza avrai punti di max/min relativo
Dopodichè il max assoluto è il massimo dei massimi, il minimo assoluto il minimo dei minimi...
Dopodichè il max assoluto è il massimo dei massimi, il minimo assoluto il minimo dei minimi...
Le derivate si annullano in $6x=0 => x=0$ , $6x+2=0 => x=-1/3$ , $10x+4=0 => x=-2/5$
Allora il minimo assoluto è $-2/5$ e il massimo assoluto è $0$? oppure devo considerare tra i massimi e minimi assoluti anche i vertici come ho fatto in precedenza?
Allora il minimo assoluto è $-2/5$ e il massimo assoluto è $0$? oppure devo considerare tra i massimi e minimi assoluti anche i vertici come ho fatto in precedenza?
I valori di ascissa che hai trovato sono appunto le ascisse dei possibili punti di max / min ; adesso devi trovare le ordinate di quei punti ( sai su che rette stanno ) .
Devi poi valutare quanto vale la $f(x,y) $ nei vari punti. vertici inclusi e confrontando i valori , decidere quindi quali sono i punti di max e min assoluti.
Devi poi valutare quanto vale la $f(x,y) $ nei vari punti. vertici inclusi e confrontando i valori , decidere quindi quali sono i punti di max e min assoluti.
Ah ok. Vediamo se ho capito.
In $L_1$ abbiamo $x=0 => y=0$
In $L_2$ abbiamo $x=-1/3$ che sostituisco in $y=-x-2$ e si ottiene $y=-5/3$
In $L_3$ abbiamo $x=-2/5$ che sostituisco in $y=x+2$ e si ottiene $y=8/5$
I punti che mi sono trovati, cioè $(0,0) , (-1/3 , -5/3) , (-2/5 , 8/5)$ li sostituisco nella funzione uno ad uno
$f(0,0)=0$
$f(-1/3 , -5/3)=3$
$f(-2/5 , 8/5)=12/5$
Allora i punti tra i quali devo prendere il massimo e il minimo assoluto sono quelli che ho trovato dai vertici e cioè $0$,$67$,$37$ e questi ultimi $0$,$3$,$12/5$
Allora il minimo assoluto è $0$ che corrisponde al punto di coordinate $(0,0)$ e il massimo assoluto corrisponde a $67$ che corrisponde al punto di coordinate $3,5$
Giusto?
In $L_1$ abbiamo $x=0 => y=0$
In $L_2$ abbiamo $x=-1/3$ che sostituisco in $y=-x-2$ e si ottiene $y=-5/3$
In $L_3$ abbiamo $x=-2/5$ che sostituisco in $y=x+2$ e si ottiene $y=8/5$
I punti che mi sono trovati, cioè $(0,0) , (-1/3 , -5/3) , (-2/5 , 8/5)$ li sostituisco nella funzione uno ad uno
$f(0,0)=0$
$f(-1/3 , -5/3)=3$
$f(-2/5 , 8/5)=12/5$
Allora i punti tra i quali devo prendere il massimo e il minimo assoluto sono quelli che ho trovato dai vertici e cioè $0$,$67$,$37$ e questi ultimi $0$,$3$,$12/5$
Allora il minimo assoluto è $0$ che corrisponde al punto di coordinate $(0,0)$ e il massimo assoluto corrisponde a $67$ che corrisponde al punto di coordinate $3,5$
Giusto?
Direi di sì , non ho verificato i tuoi conti ma la procedura è corretta .
Grazie mille mi avere risolto un grande dilemma! Davvero vi ringrazio di vero cuore!!!!
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