Dubbio su massimi e minimi
Salve ragazzi, ho un dubbio per quanto riguarda la determinazione dei massimi e dei minimi di una funzione. Sto parlando di quando si calcola la derivata prima della funzione, poi si studia il segno per capire dove la funzione è crescente o decrescente, e se la funzione in un certo punto prima decresce e poi cresce abbiamo un punto di minimo, se invece prima cresce e poi decresce abbiamo un punto di massimo. Fin qui sembra tutto chiaro, però nella pratica sto incontrando delle difficoltà.
Faccio un esempio, se devo trovare i massimi e i minimi di questa funzione $f(x)=(ln(x+3)-2)/(ln(x+3)-1)$, mi studio il segno della derivata prima che è $f'(x)=1/(x+3)/(ln(x+3)-1)^2$. A questo punto pongo $f'(x)>=0$ e mi viene: $1>=0$ che è sempre verificato, $x+3>0$ che fa $x > -3$ e per finire $(ln(x+3)-1)^2 > 0$ che fa $x>e-3$
Facendo il grafico ed escludendo $1>=0$ mi viene così:
Quindi avrei un massimo su -3 e un minimo su e-3, invece se controllo su un software di matematica mi risulta che questa funzione non ha nè massimi e nè minimi.
Qualcuno mi ha detto che il denominatore dovrei escluderlo (cioè $(ln(x+3)-1)^2 > 0$) perchè è per ogni x appartenente al dominio, ma il dominio è diverso, quindi non capisco cosa c'entra.
Comunque ho sbagliato a fare questo grafico? Qualcuno mi spiega in questo caso come si prendono i punti massimo e di minimo? Grazie
Faccio un esempio, se devo trovare i massimi e i minimi di questa funzione $f(x)=(ln(x+3)-2)/(ln(x+3)-1)$, mi studio il segno della derivata prima che è $f'(x)=1/(x+3)/(ln(x+3)-1)^2$. A questo punto pongo $f'(x)>=0$ e mi viene: $1>=0$ che è sempre verificato, $x+3>0$ che fa $x > -3$ e per finire $(ln(x+3)-1)^2 > 0$ che fa $x>e-3$
Facendo il grafico ed escludendo $1>=0$ mi viene così:
Quindi avrei un massimo su -3 e un minimo su e-3, invece se controllo su un software di matematica mi risulta che questa funzione non ha nè massimi e nè minimi.
Qualcuno mi ha detto che il denominatore dovrei escluderlo (cioè $(ln(x+3)-1)^2 > 0$) perchè è per ogni x appartenente al dominio, ma il dominio è diverso, quindi non capisco cosa c'entra.
Comunque ho sbagliato a fare questo grafico? Qualcuno mi spiega in questo caso come si prendono i punti massimo e di minimo? Grazie
Risposte
Grazie mille per la risposta
Adesso ho capito meglio, l'unico dubbio che mi è rimasto è: come mai $(ln(x+3)-1)^2>0$ è per ogni x appartenente al dominio
Potresti spiegarmelo?
Adesso ho capito meglio, l'unico dubbio che mi è rimasto è: come mai $(ln(x+3)-1)^2>0$ è per ogni x appartenente al dominio
Potresti spiegarmelo?
Oppure osservando che la sua funzione è $ f(x)=1-1/(log(x+3)-1) $
e che il denominatore è strettamente crescente da cui si può desumere
la monotonia in insiemi in cui esso non cambia di segno ...
Poi se la funzione fosse definita in un insieme (che è non intervallo) , derivabile con derivata positiva,
non si può dire che è ivi strettamente monotona ...
infatti se si ponesse in $ [-1, 0[ $ $g(x)= x+1$,
in $]0, 1] $ $ g(x)= x$,
la funzione così definita in $ [-1,1]-{0} $ è derivabile con derivata positiva ma è non stettamente crescente ...
quindi ....
saluti
Mino
e che il denominatore è strettamente crescente da cui si può desumere
la monotonia in insiemi in cui esso non cambia di segno ...
Poi se la funzione fosse definita in un insieme (che è non intervallo) , derivabile con derivata positiva,
non si può dire che è ivi strettamente monotona ...
infatti se si ponesse in $ [-1, 0[ $ $g(x)= x+1$,
in $]0, 1] $ $ g(x)= x$,
la funzione così definita in $ [-1,1]-{0} $ è derivabile con derivata positiva ma è non stettamente crescente ...
quindi ....
saluti
Mino
Quindi posto $g(x)=log(x+3)-1 $
riesce:
$g(x)<0 $ in $]-3, e-3[$;
$g(x)>0 $ in $] e-3,+oo[$
$g(x)=0$ in $e-3$;
Dato che funzione composta da funzioni strettamente montone è stettamente monotona, si ha che : $log(x+3)$ è
strettamente cresente in $]-3,+oo[$ quindi anche la $g(x)$ è strettamente crescente in quanto somma di funzioni monotone.
La funzione $1/(log(x+3)-1)$ è strettamente decrescente in $]-3, e-3[$ ed è strettamente decrescente in $]e-3,+oo[$;
non si può da ciò dire che la funzione $1/(log(x+3)-1)$ è strettamente decrescente globalmente nel suo insieme di definizione.
La funzione $-1/(log(x+3)-1)$ è strettamente crescente in $]-3, e-3[$ ed è stettamente crescente in $]e-3,+oo[$;
concludendo che:
$1-1/(log(x+3)-1)$ è strettamente crescente in $]-3, e-3[$ ed è strettamente crescente in $]e-3,+oo[$
non si può dire da questo che che la funzione $1-1/(log(x+3)-1)$ è strettamente crescente nel suo insieme di definizione.
Per ulteriori indagini è utile osservare che la sua funzione ha 2 singolarità .. $-3,e-3$ ...
Posto $f(x)=1-1/(log(x+3)-1)$
si ha
$ lim_(x -> 3+)f(x)=1 $
$ lim_(x -> (e-3)-)f(x)=+oo $
$ lim_(x -> (e-3)+)f(x)=-oo $
$ lim_(x -> (+oo))f(x)=1 $
Cioè $-3$ singolarità eliminabile, $e-3$ singolarità di seconda specie...
da ciò la $f(x)$ è non monotona nel suo insieme di definizione.
Cordiali saluti
Mino
riesce:
$g(x)<0 $ in $]-3, e-3[$;
$g(x)>0 $ in $] e-3,+oo[$
$g(x)=0$ in $e-3$;
Dato che funzione composta da funzioni strettamente montone è stettamente monotona, si ha che : $log(x+3)$ è
strettamente cresente in $]-3,+oo[$ quindi anche la $g(x)$ è strettamente crescente in quanto somma di funzioni monotone.
La funzione $1/(log(x+3)-1)$ è strettamente decrescente in $]-3, e-3[$ ed è strettamente decrescente in $]e-3,+oo[$;
non si può da ciò dire che la funzione $1/(log(x+3)-1)$ è strettamente decrescente globalmente nel suo insieme di definizione.
La funzione $-1/(log(x+3)-1)$ è strettamente crescente in $]-3, e-3[$ ed è stettamente crescente in $]e-3,+oo[$;
concludendo che:
$1-1/(log(x+3)-1)$ è strettamente crescente in $]-3, e-3[$ ed è strettamente crescente in $]e-3,+oo[$
non si può dire da questo che che la funzione $1-1/(log(x+3)-1)$ è strettamente crescente nel suo insieme di definizione.
Per ulteriori indagini è utile osservare che la sua funzione ha 2 singolarità .. $-3,e-3$ ...
Posto $f(x)=1-1/(log(x+3)-1)$
si ha
$ lim_(x -> 3+)f(x)=1 $
$ lim_(x -> (e-3)-)f(x)=+oo $
$ lim_(x -> (e-3)+)f(x)=-oo $
$ lim_(x -> (+oo))f(x)=1 $
Cioè $-3$ singolarità eliminabile, $e-3$ singolarità di seconda specie...
da ciò la $f(x)$ è non monotona nel suo insieme di definizione.
Cordiali saluti
Mino
Giusto per esercizio si potrebbe osservare che essa esibisce un esempio di
funzione invertibile ma non strettamente monotona ...
l' inversa è dedotta facilmente risolvendo l' equazione
$1-1/(log (x+3)-1)=y$ per $yin R-(1)$
perchè
la restrizione della funzione a $]-3,e-3[$ è continua e quindi assume i tutti i numeri (tra gli estremi): $]1,+oo[$;
la restrizione della funione a $]e-3,+oo[$ è continua e quindi assume i tutti i numeri (tra gli estremi): $]-oo, 1[$;
concludendo con:
$f(]-3,+oo[-{e-3})=R-{1}$, in questo insieme l' inversa $f^(-1)(y)=e^(1+1/(1-y))-3$.
Cordiali saluti
Mino
funzione invertibile ma non strettamente monotona ...
l' inversa è dedotta facilmente risolvendo l' equazione
$1-1/(log (x+3)-1)=y$ per $yin R-(1)$
perchè
la restrizione della funzione a $]-3,e-3[$ è continua e quindi assume i tutti i numeri (tra gli estremi): $]1,+oo[$;
la restrizione della funione a $]e-3,+oo[$ è continua e quindi assume i tutti i numeri (tra gli estremi): $]-oo, 1[$;
concludendo con:
$f(]-3,+oo[-{e-3})=R-{1}$, in questo insieme l' inversa $f^(-1)(y)=e^(1+1/(1-y))-3$.
Cordiali saluti
Mino
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