Dubbio su limiti notevoli di funzioni
Salve!
di questo esercizio dovrei studiare la continuità e classificare eventuali discontinuità.
$ f(x)={sin(pi/x)(1-cos(pix))/(x-1) x!= 0,1 $
calcolando il $ lim_(x -> 0+) ,
lim_(x->0- $
ed utilizzando i limiti notevoli risulta $ pi^3/2 ,
-pi^3/2 $
adesso dovrei calcolare il limite per x che tende a 1 da destra e da sinistra. La mia domanda è: posso applicare lo stesso i limiti notevoli per semplificare il calcolo o quest'ultimi valgono solo se il limite tende a zero?
vi ringrazio e vi auguro buona Epifania!
di questo esercizio dovrei studiare la continuità e classificare eventuali discontinuità.
$ f(x)={sin(pi/x)(1-cos(pix))/(x-1) x!= 0,1 $
calcolando il $ lim_(x -> 0+) ,
lim_(x->0- $
ed utilizzando i limiti notevoli risulta $ pi^3/2 ,
-pi^3/2 $
adesso dovrei calcolare il limite per x che tende a 1 da destra e da sinistra. La mia domanda è: posso applicare lo stesso i limiti notevoli per semplificare il calcolo o quest'ultimi valgono solo se il limite tende a zero?
vi ringrazio e vi auguro buona Epifania!
Risposte
a dire il vero,non sono d'accordo sui risultati che hai postato per quanto riguardo lo $0$
io vedo al numeratore una quantità che oscilla tra $-1$ e $1$ che moltiplica una quantità che tende a $0$
per me il limite esiste e vale $0$
io vedo al numeratore una quantità che oscilla tra $-1$ e $1$ che moltiplica una quantità che tende a $0$
per me il limite esiste e vale $0$
In effetti rifacendo pian piano tutti i passaggi viene 0 . Posto qualche passaggio:
Applico i limiti notevoli:
$ lim_(x->0+) pi/x((pi^2x^2)/(2(x-1))) $
$ =(pi^3x)/(x(2-(2/x)) $
$ pi^3/oo=0 $
Invece per fare il limite per x->1 posso applicarli lo stesso i limiti notevoli?
Applico i limiti notevoli:
$ lim_(x->0+) pi/x((pi^2x^2)/(2(x-1))) $
$ =(pi^3x)/(x(2-(2/x)) $
$ pi^3/oo=0 $
Invece per fare il limite per x->1 posso applicarli lo stesso i limiti notevoli?
inoltre se x=0 non c'è neanche la discontinuità?
rispondo prima all'ultimo post : in $x=0$ c'è una discontinuità eliminabile
per quanto riguarda $x=1$,io sono riuscito a risolverlo con i limiti notevoli solo dopo aver fatto dei cambi di variabile
cominciamo ad osservare che il problema è quello di calcolare $ lim_(x -> 1) (sen(pi/x))/(x-1 )$
metto in spoiler il mio procedimento nel caso tu volessi rifletterci su un altro po'
'
per quanto riguarda $x=1$,io sono riuscito a risolverlo con i limiti notevoli solo dopo aver fatto dei cambi di variabile
cominciamo ad osservare che il problema è quello di calcolare $ lim_(x -> 1) (sen(pi/x))/(x-1 )$
metto in spoiler il mio procedimento nel caso tu volessi rifletterci su un altro po'
'
Quindi i limiti notevoli si possono applicare solo se x o qualche altra cosa del limite tende a zero e quindi si fa il cambio di variabile. Quel che non capisco è:
1. Perché non prendiamo in considerazione 1-cos(pix)?
2. Come si fa il cambio di variabile?
1. Perché non prendiamo in considerazione 1-cos(pix)?
2. Come si fa il cambio di variabile
?
1) non è che non lo prendiamo in considerazione : il limite fa banalmente $2$; mi sono concentrato sulla parte problematica
2)se vuoi,guarda il testo nascosto
2)se vuoi,guarda il testo nascosto
sisi l'ho visto ma non so come hai fatto il cambio di variabile...
ho fatto un primo cambio di variabile ponendo $z=pi/x$ il che implica che se $xrarr1$ allora $zrarrpi$; inoltre $x=pi/z$
quindi ci si riconduce $ lim_(z -> pi) z(senz)/(pi-z)=pilim_(z -> pi)(senz)/(pi-z) $
per calcolare quest'ultimo limite ho fatto un altro cambio di variabile : $u=pi-z$ il che implica che se $zrarrpi$ allora $urarr0$
inoltre $z=pi-u$
ricordando anche una formula degli archi associati si arriva a $ lim_(u -> 0) (sen u)/u $
quindi ci si riconduce $ lim_(z -> pi) z(senz)/(pi-z)=pilim_(z -> pi)(senz)/(pi-z) $
per calcolare quest'ultimo limite ho fatto un altro cambio di variabile : $u=pi-z$ il che implica che se $zrarrpi$ allora $urarr0$
inoltre $z=pi-u$
ricordando anche una formula degli archi associati si arriva a $ lim_(u -> 0) (sen u)/u $
Grazie ho capito! un'ultima cosa, sapresti consigliarmi testi, siti web dove trovare ulteriori esercizi su questo tipo di limiti con cambio di variabile?
su ogni testo di 5° liceo scientifico ne trovi di questa tipologia
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