Dubbio su limiti

[Mappers98]

Buoonasera.. Ho un dubbio sulla risoluzione di questo limite $lim x to +infty (xsen(1/x))$ . Ha senso dire che tende a più infinito perché x tende a più infinito e $sen(1/x)$ è una quantità limitata (tra -1e 1)? e perché lo stesso limite in 0 non esiste? Non posso dire,per lo stesso motivo di prima, che tende a 0? Grazie.
p.s: Non riesco a mettere a pedice a cosa tende la x.Come si fa?

[Mappers98]

Grazie mille! Non mi è però chiara una cosa .Ho capito che $sen(1/x)$ è limitata in modulo però non in modulo oscilla tra -1 e +1... e quindi vuol dire che in un intorno di infinito la x viene moltiplicata per un valore compreso tra -1 e 1..Non riesco a capire.. invece in 0 ha senso il ragionamento della quantità limitata?

[cooper1]

"arnett":Ciao, $ \sin(1/x) $ è una quantità limitata in modulo ma di segno variabile e questo fa sì che la funzione $ x\sin(1/x) $ abbia oscillazioni sempre più ampie a più infinito e non ammetta limite per $ x\to+\infty $.
Invece $ \lim_{x\to0} x\sin(1/x)=0 $ poiché $ |x\sin(1/x)|\le|x|\to0 $.
Quindi: nel secondo caso puoi usare il teorema dei carabinieri per dimostrare che il limite esiste e fa zero, nel primo caso il limite non esiste.

scusami ma non sono assolutamente d'accordo. $1/x->0$ per $x->+oo$ e di conseguenza posso applicare il limite notevole del seno e concludere che il limite fa 1.
per il secondo sono invece d'accordo. inoltre

"Mappers98":Buoonasera.. . Ha senso dire che tende a più infinito perché x tende a più infinito e $ sen(1/x) $ è una quantità limitata (tra -1e 1)?

questo risultato non vale con infinito ma con zero, cioè se hai una quantità che va a zero e la moltiplichi per qualcosa di limitato, indipendentemente dal comportamento di quest'ultima, il tutto tende a zero. proprio come nel secondo limite

[Mappers98]

Perfetto grazie mille..quindi il metodo della f limitata lo posso usare solo in 0? E poi ho una domanda a titolo informativo.. perché non posso usarlo a più infinito?

[cooper1]

"Mappers98":quindi il metodo della f limitata lo posso usare solo in 0

vale con qualcosa che tende a zero non necessariamente quando $x->0$. per intenderci devi avere qualcosa del tipo
$lim_(f(x)->0)f(x) c(x)$ con c(x) limitata

"Mappers98":a titolo informativo.. perché non posso usarlo a più infinito?

perchè non vale, non si dimostra valere. un controesempio è il primo limite che stiamo discutendo: non fa a $+oo$ come vorremmo dimostrare ma fa 1 come da limite notevole