Dubbio su limite semplice

[pepp1995]

$lim x->0 (ln((3^x+1)/(5^x+1)))/(ln(1+x))$

Sto cercando di applicare i notevoli $(a^x-1)/x=lna$ e $ln(1+x)/x=1$

Mi sono scritto l'argomento del logaritmo come:$((3^x-1)/x+2/x)/((5^x-1)/x+2/x)$
Ora però ho il problema di quel $2/x$

[pilloeffe]

Ciao pepp1995,

Io questo lo risolverei con la regola di de l'Hopital...

[pepp1995]

Non la posso utilizzare (il prof l'ha scritto a caratteri cubitali sulla prova)

[pilloeffe]

"pepp1995":Non la posso utilizzare (il prof l'ha scritto a caratteri cubitali sulla prova)

Chiedo scusa, non lo sapevo...
Beh, allora... Proverei cercando di riscrivere il logaritmo al numeratore nella forma $ln(1 + f(x)) $.

[Ernesto011]

A meno di sviste, direi qualcosa del genere:
$lim_(x->0) log ((3^x+1+5^x-5^x)/(5^x+1))/log(1+x)=lim_(x->0) log(1+ (3^x-5^x)/(5^x+1))/log(1+x)=lim_(x->0) log(1+ (3^x-5^x)/(5^x+1))/((3^x-5^x)/(5^x+1)) * x/(log(1+x)) * ((3^x-5^x)/((5^x+1)x))=lim_(x->0) ((3^x-5^x)/((5^x+1)x))=lim_(x->0) (((3^x-1)-(5^x-1))/x)*(1/(5^x+1))$

[pepp1995]

Risolto.
Grazie mille !
=)

[pilloeffe]

"pepp1995":Risolto.

"pepp1995":Grazie mille !

Prego!

Visto che in genere non mi piace lasciare le cose in sospeso, anche se qualche volta sono costretto a causa della mancanza di tempo, concludo la corretta soluzione di Ernesto01:

$lim_{x \to 0} (((3^x-1)-(5^x-1))/x) \cdot (1/(5^x+1)) = (lim_{x \to 0} frac{3^x-1}{x} - lim_{x \to 0} frac{5^x-1}{x}) \cdot lim_{x \to 0} 1/(5^x+1) = $
$ = (ln 3 - ln 5) \cdot 1/2 = - frac{1}{2}(ln 5 - ln 3) = - frac{1}{2} ln(5/3) $

Perciò in definitiva si ha:

[tex]\begin{equation}
\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\ln\big(\frac{3^x+1}{5^x+1}\big)}{\ln(1+x)} = - \frac{1}{2} \ln\bigg(\frac{5}{3}\bigg)}
\end{equation}[/tex]