Dubbio su limite risolvibile con equivalenze asintotiche
Salve a tutti,
mentre facevo un po' di esercizi mi sono imbattuto in questo limite, all'apparenza abbastanza semplice ma che non sono riuscito a risolvere:
$ lim_{x \to 1} (x+2)/(x-1) - 3/\logx $
per cercare di risolverlo avevo pensato di sostituire logx con x-1, essendo i due asintotici per x che tende a 1. Facendo questa sostituzione, dopo semplici passaggi algebrici si ottiene
$ lim_{x \to 1} (x-1)/(x-1) $
il cui risultato è evidentemente 1
Il problema è che il limite dovrebbe venire $ -1/2 $
Potreste gentilmente dirmi dove ho sbagliato? Ho l'impressione di aver abusato delle equivalenze asintotiche nel sostituire quel logaritmo di x con x-1, ma da quel che so posso sostituire sempre due funzioni asintotiche tranne quando con la sostituzione vado a eliminare dei termini dell'equazione.
Grazie in anticipo della risposta e buone feste
mentre facevo un po' di esercizi mi sono imbattuto in questo limite, all'apparenza abbastanza semplice ma che non sono riuscito a risolvere:
$ lim_{x \to 1} (x+2)/(x-1) - 3/\logx $
per cercare di risolverlo avevo pensato di sostituire logx con x-1, essendo i due asintotici per x che tende a 1. Facendo questa sostituzione, dopo semplici passaggi algebrici si ottiene
$ lim_{x \to 1} (x-1)/(x-1) $
il cui risultato è evidentemente 1
Il problema è che il limite dovrebbe venire $ -1/2 $
Potreste gentilmente dirmi dove ho sbagliato? Ho l'impressione di aver abusato delle equivalenze asintotiche nel sostituire quel logaritmo di x con x-1, ma da quel che so posso sostituire sempre due funzioni asintotiche tranne quando con la sostituzione vado a eliminare dei termini dell'equazione.
Grazie in anticipo della risposta e buone feste
Risposte
Prima devi metterlo nella forma $((x+2)log (1+(x-1))-3(x-1))/((x-1)log(1+(x-1))) $ ponendo $t=(x-1)$ e sostituendo $1$ , nel termine $(x+2) $, avrai ancora $lim_(t->0)(3log (1+t)-3t)/(tlog (1+t)) $ $=lim_(t->0)(3log (1+t)-3t)/t^2$ , a denominatore essendoci solo un prodotto puoi tranquillamente sostituire l'asintotico, $log (1+t)~~t $, a numeratore la sostituzione dell'asintotico, ti porta ancora ad una forma indeterminata $0/0$ essendo che si elidono i termini di primo grado, cioè in $t $, per cui hai bisogno di uno sviluppo più esteso, magari fino al termine di ordine $2$, in al ternativa puoi usare Hopital, prova!
Grazie mille a entrambi. Quindi se ho capito bene quando mi trovo una funzione del genere prima di sostituire conviene unire entrambi i membri? Inoltre potreste spiegarmi un po' più nel dettaglio come trovare l'mcm tra un logaritmo e un monomio?
Beh, si, nella forma iniziale hai una forma indeterminata $infty-infty $, che non porta a soluzione, bisogna trasformarla in un unica frazione, in modo da avere una forma indeterminata $0/0$, ed elidere il fattore che da l'indeterminazione, quindi essendo il m.c.m dei due denominatori semplicemente il prodotto $(x-1)×logx $, avremo $lim_(x->1)((x+2)logx-3logx)/((x-1)logx) $ a questo punto hai una forma indeterminata $0/0$, per semplicita conviene porre $(x-1)=t $e riscrivere il limite come $lim_(t->0)((t+3)log (1+t)-3t)/t^2$ , dopodiché se non conosci gli sviluppi in serie, visto che gli asintotici non risolvono la forma indeterminato, puoi procedere con Hopital, dato che sono verificate tutte le condizioni per la sua applicazione.
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